Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат . М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид: = ρ = При этом (4) В вакууме ε = 1, так что (5) Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное. Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат: = (6) (7) (8) = (9) (10) (11) Δ φ = (12) (13) (14) Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r. = (15) Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ρ(x) и распределение потенциала φ(x). При нахождении φ(x) принять φ|x = 0 = 0. Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла: ρ = ρ = Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал: В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела: В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу: φ(x) = = Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области. Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3 Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r). Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала: После этого сразу записывается (у нас ε = 1): Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда: Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , α>0. Выяснить, какому распределению заряда ρ(r) и какому потенциалу φ(r) такое поле соответствует. Ответ: ρ(r) = Aε0exp(–α r)(2–α r), Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности ( ) для поля и для поля . Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет. Список литературы 1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с. 2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.