Построение эйлерова цикла. Алгоритм Форда и Уоршелла БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра информатики на тему: «Построение эйлерова цикла. Алгоритм форда и Уоршелла» МИНСК, 2008 1. Эйлеровы цепи и циклы Рассматриваемая задача является одной из самых ста­рей­ших в теории графов. В городе Кенигсберге (ныне Калининград) имелось семь мостов, соединяющих два берега реки Преголь, и два основа на ней друг с другом (рис. 1а). Требуется, начав путешествие из одной точки города прой­ти по всем мостам по одному разу и вернуться в исходную точку. а) б) Рис. 1. Если поставить в соответствие мостам ребра, а участкам суши — вершины, то получится граф (точнее псевдограф), в котором надо найти про­стой цикл, проходящий через все ребра. В общем виде эта задача была решена Эйлером в 1736 г. Определение 1. Эйлеровой цепью в неориентированном графе G называется простая цепь, содержащая все ребра графа G . Эйлеровым циклом назы­вается замкнутая Эйлерова цепь. Аналогично, эйлеров путь в орграфе G — это простой путь, содержащий все дуги графа G . Эйлеров контур в орграфе G — это замкнутый эйлеров путь. Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым . Простой критерий существования эйлерова цикла в связном графе дается следующей теоремой. Теорема 1. (Эйлер) Эйлеров цикл в связном неориентированном графе G (X , E ) существует только тогда, когда все его вершины имеют четную степень. Доказательство. Необходимость. Пусть m - эйлеров цикл в связном гра­фе G , x — произвольная вершина этого графа. Через вершину x эйлеров цикл проходит некоторое количество k (k ³1) раз, причем каждое прохождение, очевидно, включает два ребра, и степень этой вершины равна 2k , т.е. четна, так как x выбрана произвольно, то все вершины в графе G имеют четную сте­пень. Достаточность. Воспользуемся индукцией по числу m ребер графа. Эйле­ровы циклы для обычных (не псевдо) графов можно построить начиная с m =3.Легко проверить, что единственный граф с m =3, имеющий все вершины с четными степенями, есть граф K 3 (рис. 2). Существование эйлерова цикла в нем очевидно. Таким образом, для m =3 достаточность условий доказываемой теоремы имеет место. Пусть теперь граф G имеет m >3 ребер, и пусть утверждение справедливо для всех связных графов, имеющих меньше, чем m ребер. Зафиксируем произвольную вершину a графа G и будем искать простой цикл, идущий из a в a . Пусть m(a , x ) — простая цепь, иду­щая из a в некоторую вершину x . Если x ¹a , то цепь m можно продолжить из вершины x в некотором направлении. Через некоторое число таких про­дол­­же­ний мы придем в вершину z ÎX , из которой нельзя продлить полу­чен­ную про­стую цепь. Легко видеть, что z = a так как из всех остальных вершин цепь может выйти (четные степени!); a в a она начиналась. Таким образом, нами построен цикл m, идущий из a в a . Предположим, что построенный про­стой цикл не содержит всех ребер графа G . Удалим ребра, входящие в цикл m, из графа G и рассмотрим полученный граф . В графе все вершины имеют четные степени. Пусть — компо­нен­ты связ­нос­ти графа , содержащие хотя бы по одному ребру. Соглас­но пред­поло­же­нию индукции все эти компоненты обладают эйлеровыми циклами m1 , m1 , …, mk соот­вет­ствен­но. Так как граф G связан, то цепь m встре­чает каждую из компонент . Пусть первые встречи цикла m с ком­понентами происходят соответственно в вершинах x 1 , x 2 , …, xk . Тогда про­стая цепь n(a , a )=m(a , x 1 ) Um1 (x 1 , x 1 ) Um(x 1 , x 2 ) U…Umk (xk , xk ) Um(xk , a ) является эйлеровым циклом в графе G . Теорема доказана. Замечание. Очевидно, что приведенное доказательство будет верно и для псевдографов, содержащих петли и кратные ребра (см. рис. 1,а). Таким образом, задача о кенигсбергских мостах не имеет ре­ше­ния, так как соответствующий граф (см. рис. 1,б) не имеет эйлерова цикла из-за не­четности степеней все вершин. Отметим, что из существования эйле­ро­ва цикла в неориентированном графе G не следует связность этого графа. Напри­мер, неориентированный граф G на рис. 3 обладает эйлеровым циклом и вместе с тем несвязен. Совершенно также, как теорема 1, могут быть доказаны следующие два утверждения. Теорема 2. Связный неориентированный граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени в нем равно 0 или 2, причем если это число равно нулю, то эйлерова цепь будет являться и циклом. Теорема 3. Сильно связный орграф G (X , E ) обладает эйлеровым кон­ту­ром тогда и только тогда, когда для любой вершины x ÎX выполняется . Можно также обобщить задачу, которую решал Эйлер следующим обра­зом. Будем говорить что множество не пересекающихся по ребрам простых цепей графа G покрывает его, если все ребра графа G включены в цепи mi . Нужно найти наименьшее количество таких цепей, которыми можно покрыть заданный граф G . Если граф G — эйлеров, то очевидно, что это число равно 1. Пусть теперь G не является эйлеровым графом. Обозначим через k число его вер­шин нечетной степени. По теореме … k четно. Очевидно, что каждая верши­на нечетной степени должна быть концом хотя бы одной из покрывающих G цепей mi . Следовательно, таких цепей будет не менее чем k /2. С другой сто­роны, таким количеством цепей граф G покрыть можно. Чтобы убедиться в этом, расширим G до нового графа , добавив k /2 ребер , соединяющих раз­личные пары вершин нечетной степени. Тогда оказывается эйлеровым графом и имеет эйлеров цикл . После удаления из ребер граф разло­жится на k /2 цепей, покрывающих G . Таким образом, доказана. Теорема 4. Пусть G — связный граф с k >0 вершинами нечетной степени. Тогда минимальное число непересекающихся по ребрам простых цепей, покрывающих G , равно k /2. Алгоритм построения эйлерова цикла Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм. Пусть G (X , E ) — связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру. 1°. Пусть a — произвольная вершина графа G . Возьмем любое ребро e 1 =(a , x 1 ) , инцидентное вершине a, и положим m = {e 1 }. 2°. Рассмотрим подграф G 1 (X , E\ m1 ). Возьмем в качестве e 2 ребро, инци­дентное вершине x 1 и неинцидентное вершине a , которое также не является мостом в подграфе G 1 (если такое ребро e 2 существует!). Получим простую цепь m2 = {e 1 , e 2 }. 3°. Пусть e 2 = (x 1 , x 2 ), x ¹a . Рассмотрим подграф G 2 (X , E\ m2 ) и удалим из него все изо­лированные вер­шины. В полученном подграфе выберем ребро e 3 ÎE \ m2 , инцидентное вершине a , которое не является мостом в под­графе (если такое ребро e 3 суще­ству­ет!). Получим простую цепь m3 = {e 1 , e 2 , e 3 }. Продолжая указанный процесс, мы через конечное число шагов получим эйлеров цикл m = {e 1 , e 2 , …, en }, где n — число ребер графа G (X , E ). Обоснование алгоритма Предположим, что уже построена простая цепь mk -1 = {e 1 , e 2 , …, ek -1 } для k ³2 методом, указанным в алгоритме. Пусть ek -1 = (xk -2 , xk -1 ) и xk -1 ¹a . Рас­смо­трим подграф , который получается из подграфа G k -1 (X , E\ mk -1 ) удалением всех изолированных вершин. Вершина xk -1 в этом подграфе имеет нечет­ную степень, поэтому существует по крайней мере одно ребро ek ÎE\ mk -1 , ин­ци­дентное xk -1 . Если это ребро единственное, то оно не является мостом в графе . В противном случае вершина a будет связана с некоторой вер­ши­ной единственной цепью, содержащей ребро ek , что противоречит суще­ствованию эйлерова цикла в графе G . Поскольку ek - не мост, то процесс мож­но продолжать, взяв . Если ребро ek не единственное инци­дентное вершине xk -1 , то среди этих ребер есть по крайней мере одно, не явля­ющееся мостом. В противном случае один из этих мостов можно выбро­сить так, что вершины xk -1 и a попадут в разные компоненты связности графа . Если xk -1 принадлежит компоненте M , то в этой компоненте все вер­шины имеют четную степень, поэтому существует эйлеров цикл в M , про­хо­дящий через xk -1 . Этот цикл содержит все ребра, инцидентные xk -1 и при­над­лежащие , являющиеся одновременно мостами. Получено противоречие, так как ребра из эйлерова цикла мостами быть не могут. Итак, в рассмотренном случае существует ребро ek , инцидентное вершине xk -1 и не являющееся мостом. Значит, и в этом случае процесс можно продолжать, взяв . Из предыдущего следует, что процесс нельзя продолжать тогда и только тогда, когда мы попадем в вершину a , причем степень вершины a относительно непройденных ребер равна нулю. Докажем, что в этом случае построенный цикл m - простой цикл. Покажем, что m содержит все ребра графа G . Если не все ребра графа G принадлежат m, то не принадлежащие m ребра порождают компоненты связности C 1 , …, Cm (m ³1) в подграфе . Пусть компонента Ci , 1£i £m соединяется с циклом m в вершине yi . Если существует ребро e Îm , такое, что e =(yi , a ), то при построении цикла m было нарушено правило выбора ребра e , что невозможно. Если часть цикла m, соединяющая yi и a , состоит более чем из одного ребра, то первое ребро этой части было мостом, и поэтому было нарушено правило вы­бора , что невозможно. Итак, непройденных ребер быть не может, поэ­тому m - эйлеров цикл. 2. НАХОЖДЕНИЕ КРАТЧАЙШИХ ПУТЕЙ В ГРАФЕ Рассматрим ориентированные графы G (X , E ) каждой дуге e ÎE которого ставится в соответствие вещественное число l (e ). Т.е. на множестве Е создана функция l :E ®R . Такой граф принято называть нагруженным . Само число l называется весом дуги. Можно увидеть аналогию между, например, картой автомобильных или железных дорог. Тогда множество вершин Х будет соответствовать городам, множество дуг – магистралям, соединяющим города, а веса – расстояниям. (На практике, при этом, фактически получится неориентированный граф). В связи с изложенной аналогией будем называть веса дуг расстояниями. Определение 2. 1. Пусть имеется последовательность вершин x 0 , x 1 , …, xn , которая определяет путь в нагруженном графе G (X , E ), тогда длина этого пути определяется как . Естественный интерес представляет нахождение кратчайшего пути между двумя заданными вершинами x и y. Алгоритм Форда отыскания кратчайшего пути . Будем предполагать, что все расстояния в графе положительны. (Если это не так, то ко всем весам можно всегда добавить такую константу, что все эти веса станут положительными). Пусть мы ищем путь от вершины x 0 к вершине xn . Будем каждой вершине xi ставить в соответствие некоторое число li по следующим правилам. 1° Положим l0 = 0, li = ¥ (достаточно большое число) для "i > 0. 2° Ищем в графе дугу (xi , xj ) удовлетворяющую следующему условию lj - li > l (xi , xj ), (1) после чего заменяем lj на . Пункт 2°повторяется до тех пор, пока невозможно будет найти дугу, удовлетворяющую условию (1). Обоснуем этот алгоритм и укажем как определяется кратчайший путь. Отметим, что ln монотонно уменьшается, то после завершения алгоритма найдется дуга , такая, что для которой последний раз уменьшалось ln . (Иначе вообще нет пути между x 0 и xn или для верно (1)). По этой же самой причине найдется вершина , такая , что , этот процесс может продолжаться и дальше, так что получится строго убыва­ю­щая последовательность . Отсюда следует, что при некото­ром k мы получим . Покажем, что – минимальный путь с длиной ln , т.е. длина любого другого пути между x 0 и xn не превышает kn . Возьмем произвольный путь и рассмотрим его длину . После завершения алгоритма имеем следующие соотношения Сложив все эти неравенства, получим , что и требовалось доказать. Рассмотрим пример. а б Рис. 2.1 На рис. 2.1а изображен исходный помеченный граф и начальные значения li . На рис. 2.1б для того же графа указаны конечные значения li и выделен кратчайший путь. Пометка вершин графа происходила в следующем порядке (в скобках указана дуга, вдоль которой выполняется (1)): l1 = 6 (x 0 , x 1 ), l2 = 7 (x 0 , x 2 ), l3 = 6 (x 0 , x 3 ), l4 = 12 (x 1 , x 3 ), l4 = 11 (x 2 , x 4 ), l5 = 16 (x 3 , x 4 ), l5 = 15 (x 4 , x 5 ), l6 = 18 (x 4 , x 6 ), l6 = 17 (x 5 , x 6 ). Иногда возникает задача отыскания кратчайших расстояний между всеми парами вершин. Одним из способов решения этой задачи является Алгоритм Флойда Обозначим lij длину дуги (xi , xj ), если таковой не существует примем lij = ¥, кроме того, положим lii = 0. Обозначим длину кратчайшего из путей из xi в xj с промежуточными вершинами из множества {x 1 , …, xm }. Тогда можно получить следующие уравнения , (2) . (3) Уравнение (2) очевидно. Обоснуем уравнение (3). Рассмотрим кратчай­ший путь из xi в xj с промежуточными вершинами из множества {x 1 , …, xm , xm +1 }. Если этот путь не содержит xm +1 , то . Если же он содержит xm +1 , то деля путь на отрезки от xi до xm +1 и от xm +1 до xj , получаем равенство . Уравнения (2) и (3) позволяют легко вычислить матрицу расстояний [dij ] между всеми парами вершин графа G (X , E ). На первом этапе согласно (2) составляем n ´n матрицу равную матрице [lij ] весов ребер (n – число вершин G (X , E )). n раз производим вычисление по итерационной формуле (3), после чего имеем – матрицу расстояний. Отметим, что алгоритм Флойда непосредственно не указывает сам кратчайший путь между вершинами, а только его длину. Алгоритм Флойда можно модифицировать таким образом, чтобы можно было находить и сами пути. Для этого получим вспомогательную матрицу [Rij ], которая будет содержать наибольший номер вершины некоторого кратчайшего пути из xi в xj (Rij =0, если этот путь не содержит промежуточных вершин). Эта матрица вычисляется параллельно с по следующим правилам Последнее выражение следует из обоснования (3). Теперь кратчайший путь выписывается из следующего рекурсивного алгоритма: Кратчайший путь из xi в xj : 1°. Если Rij = 0 то выполнить 2°, иначе выполнить 3°. 2°. Если i =j то выписать xi и закончить, иначе выписать xi и xj закончить. 3°. Выписать кратчайший путь между xi и . 4°. Выписать кратчайший путь между и xj . Пункты 3° и 4° предполагают рекурсивное обращение к рассмотренному алгоритму. С задачей определения кратчайших путей в графе тесно связана задача транзитивного замыкания бинарного отношения. Напомним, что бинарным отношением на множестве Х называется произвольное подмножество E ÌX ´X . Транзитивным называется отношение, удовлетворяющее следующему условию: если (x , y ) ÎE и (y , z ) ÎE , то (x , z ) ÎE для всех x , y , z ÎX . Отметим, что бинарное отношение можно однозначно представить орграфом G (X , E ). Теперь для произвольного отношения Е определим новое отношение Е * следующим образом E * = {(x , y ) | если в G (X , E ) существует путь ненулевой длины из x в y }. Легко проверить, что Е * - транзитивное отношение. Кроме того, Е * является наименьшим транзитивным отношением на Х в том смысле, что для произвольного транзитивного отношения F ÉE выполняется E * ÉF . Отно­ше­ние Е * называется транзитивным замыканием отношения Е . Если отношение Е представить в виде графа G (X , E ) в котором каждая дуга имеет вес 1, то транзитивное замыкание Е * можно вычислить с помощью алгоритма Флойда. При этом надо учесть, что (xi , xj ) ÎE * если . Для большего удобства алгоритм Флойда в этом случае можно моди­фи­ци­ровать следующим образом. Положим . Вместо (3) запишем , где Ú – дизъюнкция (логическое сложение), Ù – конъюнкция (логическое умножение). После завершения работы алгоритма будем иметь Модифицированный таким образом алгоритм называется алгоритмом Уоршелла. ЛИТЕРАТУРА 1. Баканович Э.А., Волорова Н.А., Епихин А.В. Дискретная математика:. В 2-х ч..– Мн.: БГУИР, 2000.– 52 с., ил. 14 ISBN 985-444-057-5 (ч. 2). 2. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. М. Иза-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.