Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 4 Секция: математика ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей Позолотина Наталья Андреевна, 9б класс, МОУ СОШ №4 Центрального района. 224-49-85 Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа НГПУ. (Работа выполнена в МОУ СОШ №4) Новосибирск 2008 Содержание Введение 1. Основные понятия и определения 2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных 2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных 2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных Упражнения 2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных Упражнения 2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных Упражнения 2.5 Случай с n последовательностями из n переменных Упражнения Заключение Список использованной литературы Введение В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами: - сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований; - графически (исследование свойств и построение графиков функции) Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес. В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей. Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями. 1. Основные понятия и определения В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы. Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку. Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,… Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…: Z = N -N {0} Определение 4. Рациональные числа Q– это числа представимые обычными дробями в виде , где mє Z, nє N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными). Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде . Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел. R=Q I Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой. Например: , Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как: а) a<b, b<c a<c b) a b, b a a=b c) a b a+c b+c d) a 0 -a 0 Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства. Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности. Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства. Обозначение: f1 (x)>f2 (x) ц1 (x)>ц2 (x) – второе неравенство – следствие первого. Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают. Обозначаются равносильные неравенства: f1 (x)>f2 (x) ц1 (x)>ц2 (x) Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть: – прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого; – перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую; – умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д. Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств. Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному. Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N 1) Проверяем правдивость Р(1) 2) Предполагаем, что P(k) истинно 3) Доказываем истинность Р(k+1) 4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n. Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида ( а1 а2 … аn )( b1 b2 … bn ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1 а2 … аn находится над наибольшим числом из чисел b1 b2 … bn и второе по величине из чисел а1 а2 … аn над вторым по величине из чисел b1 b2 … bn и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие. Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а1 , а2 , …аn ), (b 1 , b2 ,…bn ), …( d 1 , d 2 ,…, dn ) это число вида = а1 b1 …d1 +а2 b2 …d2 + …+an bn …dn 2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции. 2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных а1 *b1 – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда = a1 b1. Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно. 2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных Если = a1 b1 . то =а1 b1 +а2 b2 Теорема 1. Пусть (а1 а2) (b 1 b 2 ) – одномонотонные последовательности. Тогда Доказательство Действительно, – =a1 b1 +a2 b2 -a1 b2 -a2 b1 = (a1 -a2 ) (b1 -b2 ) Так как последовательности (а1 а2 )(b1 b2 ) одномонотонны, то числа a1 -a2 и b1 -b2 имеют одинаковый знак. Поэтому (a1 -a2 ) (b1 -b2 ) 0. Теорема доказана. Упражнения Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1 Упражнение №1 . Пусть a и b – положительные вещественные числа. Доказать неравенство a3 +b3 a2 b+b2 a. Доказательство. Заметим, прежде всего, что a3 +b3 = , a2 b+b2 a = А так как последовательности (a2 , b2 ), (a, b) одномонотонны, то А это значит, что a3 +b3 a2 b+b2 a. Что и требовалось доказать. Докажем это же неравенство, но другим способом. Значит a3 +b3 a2 b+b2 a. Что и требовалось доказать. Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности. Упражнение №2 . Пусть a и b – положительные вещественные числа. Доказать неравенство. а2 +b2 . Доказательство. Заметим, прежде всего, что а2 +b2 = , , А так как последовательности ( ), ( ) одномонотонны, то . Что и требовалось доказать. 2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных Рассмотрим последовательность (а1 ,а2 ,а3 ) и (b 1 , b2 ,b3 ), и запишем в виде таблицы Если последовательность (а1 ,а2 ,а3 ) (b1 , b2 ,b3 ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1 ,а2 ,а3 находиться над наибольшим из чисел b 1 ,b2 ,b3 , а второе по величине а1 ,а2 ,а3 находиться над вторым по величине из чисел b 1 ,b2 ,b3 , и где наименьшее из чисел а1 ,а2 ,а3 находиться над наименьшим из чисел b 1 ,b2 ,b3 то последовательность одномонотонная. Если =a1 b1 , и =а1 b1 +а2 b2 , то =а1 b1 +а2 b2 +a3 b3 Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы. Лемма. Если (а1 , а2 , …а n ) и (b 1 , b2 ,… bn ) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов. Доказательство. Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных. =а1 b1 +а2 b2 . Заметим, что а1 b1 +а2 b2 = а2 b2 + а1 b1 по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть = Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных. =а1 b1 +а2 b2 +a3 b3 . Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть а1 b1 +а2 b2 +a3 b3 = (a3 b3 +а2 b2 )+ а1 b1 = Лемма доказана Теорема 2. Пусть (а1 а2 а3 ), (b1 b2 b 3 ) – одномонотонные последовательности и ( )( здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b1 b2 b 3 . Тогда . Доказательство. Действительно, если последовательность отличается от (b1 b2 b3 ) то найдется пара чисел k, l (1 k<l 3) такая, что последовательности (ak , al ) и (bk , bl ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть , так как . Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность. Теорема доказана Упражнения Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2 Упражнение №1. Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла. Докажите неравенство. a3 +b3 +c3 a2 b+b2 c+c2 a. Доказательство. Заметим, прежде всего, что a3 +b3 +c3 = , a2 b+b2 c+c2 a = А так как последовательности (a2 , b2 , c2 ), (a, b , c) одномонотонны, то . А это значит, что a3 +b3 +c3 a2 b+b2 c+c2 a. Что и требовалось доказать. Упражнение №2. Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла. Докажите неравенство. . Доказательство. Заметим, прежде всего, что и (a, b, c) и ( ) одномонотонные последовательности, то , . Складывая эти неравенства, мы получаем . Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части . Вычислив, получаем . А это значит, что Что и требовалось доказать 2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1 , а2 , …аn ) и (b 1 , b2 ,…bn ) Если =a1 b1 , и =а1 b1 +а2 b2 , то =а1 b1 +а2 b2 …an bn Теорема 3. Пусть ( а1 а2 … аn ), ( b1 b2 … bn ) – одномонотонные последовательности и ( )перестановка чисел b1 b2 … bn . Тогда . Доказательство. Действительно, если последовательность ( ) отличается от (b1 b2 … bn ) то найдется пара чисел k, l (1 k<l n) такая, что последовательности (ak , al ) и (bk , bl ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть , так как . Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность. Теорема доказана. Следствие. Для любого n N верно . Доказательство. Но последовательности (а1 а2 … аn ) и ( ) не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3. Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности (а1 а2 … аn ) и ( ) Поэтому Отсюда и следует искомое неравенство Следствие Для любого n N верно (Неравенство Чебышева). Доказательство. В силу теоремы 3 справедливы следующие nнеравенства Значит В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются циклически. Складываем все и получаем Что и требовалось доказать Упражнение №1. Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла. Докажите неравенство. a3 +b3 +c3 +d3 a2 b+b2 c+c2 d+d2 a. Доказательство. Заметим, прежде всего, что a3 +b3 +c3 +d3 = , a2 b+b2 c+c2 d+d2 a= . А так как последовательности (a2 , b2 , c2 , d3 ), (a, b , c, d) одномонотонны, то . А это значит, что a3 +b3 +c3 +d3 a2 b+b2 c+c2 d+d2 a. Что и требовалось доказать. Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не смогла. 2.5 Случай с n последовательностями из n переменных Рассмотрим одномонотонные последовательность (а1 , а2 , …аn ), (b1 , b2 ,…bn ), …(d1 , d2 ,…, dn ). Если =a1 b1 , и =а1 b1 +а2 b2 , и =а1 b1 +а2 b2 …an bn , то = а1 b1 …d1 +а2 b2 …d2 + …+an bn …dn Теорема 4. Рассмотрим одномонотонные последовательности (а1 , а2 , …аn ), (b 1 , b2 ,…bn ), …, (d1 , d2 ,…,dn ). Тогда . Доказательство. Действительно, если последовательность (a1 , а2 , …аn ), (b'1 , b'2 ,…b'n ), …, (d'1 , d'2 ,…,d'n ) отличается от (а1 , а2 , …аn ), (b 1 , b2 ,…bn ), …, (d1 , d2 ,…,dn ), то найдутся переменные k, l (1 k<l n) такие, что последовательности (ak , al ) и (bk , bl ) …(dk , dl ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа , , ak , al … dk , dl мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть , так как . Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность. Теорема доказана. Пример Упражнение 1 Пусть а1 , а2 , …аn - положительные вещественные числа. Докажите, что Это неравенство называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя способами Доказательство. Перепишем его в виде: , введя новые переменные Имеем Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством Коши. неравенство одномонотонный последовательность коши Заключение Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама. Список использованной литературы 1. Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г. 2. В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г. 3. Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе. 1991 г. №4 4. Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.