Системы линейных уравнений и неравенств Системы линейных уравнений и неравенств Основные вопросы лекции: основные понятия и определения теории систем уравнений; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод Гаусса; теорема Кронекера-Капелли; система n линейных уравнений с m неизвестными; однородные системы линейных уравнений; фундаментальная система решений; структура общего решения. Система mлинейных уравнений с nпеременными имеет вид: или (1) где a11 , a12 , … , amn — произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и b1 ,b2 , … , bm - свободными членами уравнений. Решением системы(1) называется такая совокупность nчисел х1 , х2 , ... , хn , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим: ; В=(b1 , b2 , … , bn )т ; Х=(x1 , x2 , … , xn )т где А— матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X — матрица-столбец переменных; В — матрица-столбец свободных членов. На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде: А*Х=B (2) А матрица состоящая из А, В, Х матриц называется расширенной матрицей: - расширенная матрица. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Рассмотрим решение системы (1) mлинейных уравнений с nпеременными в общем виде: (3) Если m=n, то рассмотрим расширенную матрицу. Учитывая правую часть, приведем данную матрицу к треугольному виду: Ситема линейных уравнении соотвествующее данной матрице запишем в следуюшем виде (4) Если в данном уравнении cnn ≠0, cn-1n-1 ≠0, ... , c33 ≠0, c22 ≠0, a11 ≠0 то, в первую очередь найдем xn , а затем постепенно поднимаясь находим остольные решения - xn-1 , … , x3 , x2 , x1 . Формула Крамера Теорема Крамера. Пусть |A|— определитель матрицы системы А, а Δj — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: (5) Формулы (5) получили название формул Крамера. Метод обратной матрицы Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель Δ=|A| называется определителем системы. (1) уравнение можно записать в матричном виде А*Х=B (6) , , . Умножая слева обе части матричного равенства (6) на матрицу А-1 ,получим А-1 (АХ)=А-1 В. Так как А-1 (АХ)=( А-1 А)Х=ЕХ=Х,то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец Х=А-1 *B (7). Система n линейных уравнений с n переменными Решение системы n линейных уравнений с n переменными находять ниже укаженными методами: 1) Метод обратной матрицы; 2) Формула Крамера; 3) Метод Гаусса. Теорема Кронекер – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы. 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет единственное решение. 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений. Системы линейных однородных уравнений Система mлинейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: (8) Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; ...; 0). Систему (8) можно записать а виде: А*Х=0 (9). Если в системе (8) m=n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю. Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)<n.