Типовой расчет 1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях: а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12. + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности: , где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания. Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А: m = 36. В результате получаем Таким образом, искомая вероятность равна 1 . б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12. × 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности: , где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания. Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем: Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389. в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12. Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности: , где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б). Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем: Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944. Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944. 2. Имеются n изделий 4-х сортов, причём , где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где . Определить вероятность того, что среди m изделий m1 – первого сорта, m2 – второго сорта, m3 – третьего сорта, m4 – четвёртого сорта Дано: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4, n4 = 2, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 2, m4 = 2. Решение. Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности: , где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно: Находим n – общее число равновозможных исходов испытания. (2+1+2+2)=7 изделий из изделий можно выбрать способами, то есть: Отсюда, искомая вероятность равна: Ответ: Р(А) = 0,0795. 3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных. Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7. Решение. Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности: , где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно: m = × = Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать способами, тогда n = Отсюда, искомая вероятность равна: Ответ: Р(А) = 0,525. 4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже. Дано: k = 7, n = 4. Решение. а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах. Событие А1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже. Событие А2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир. Событие А3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры. Событие А4 – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры. Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1 , А2 , А3 , А4 являются зависимыми. Тогда: где: , , , . Отсюда: . б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже. Событие В1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже. Событие В2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир. Событие В3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры. Событие В4 – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры. Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1 , В2 , В3 , В4 являются зависимыми. Тогда: где: , , , . Отсюда: . Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778. 5. В двух партиях К1 и К2 % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно бракованное и одно доброкачественное. Дано: К1 = 39%, К2 = 78%. Решение. Обозначим события: Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие; Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,39 и р2 = 0,78. а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное. Рассмотрим противоположное событие - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения: Р( ) = р1 · р2 = 0,39 · 0,78 = 0,3042 Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле: Р(С) = 1 - Р( ) = 1 – 0,3042 = 0,6958. б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных. Вероятность события D находим, используя теорему умножения: Р(D) = q1 · q2 = (1 - р1 ) · (1 - р2 ) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342. в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное. Тогда: Е = + или Р(Е) = Р( ) + Р( ) Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения: Р(Е) = р1 · q2 + q1 · р2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616 Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616. 6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P1 = 0,39, а вторым стрелком - P2 = 0,45. Первый стрелок сделал n1 = 3 выстрелов, а второй стрелок – n2 = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена. Решение. Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал. Рассмотрим гипотезы: Событие А1 – первый стрелок промахнулся 3 раза. Событие А2 - второй стрелок промахнулся 2 раза. Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна: q1 = 1 - p1 = 1- 0,39 = 0,61, а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2 = 1 - p2 = 1- 0,45=0,55. Тогда вероятность событий А1 и А2 находим по формуле Бернулли: Тогда: Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна: Р(А) = Р(А1 )×Р(А2 ) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687. Ответ: 0,0687. 7. Из ламп ni принадлежат i-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная. Дано: n1 = 620, n2 = 190. Решение. Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу. Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы: Событие Н1 – выбранная лампа принадлежит 1-й партии, Событие Н2 – выбранная лампа принадлежит 2-й партии, Событие Н3 – выбранная лампа принадлежит 3-й партии. Вероятность события А находим по формуле полной вероятности: Определяемвероятности гипотез Н1 , Н2 , Н3 с помощью классического определения вероятности: , Для события Н1 имеем: m1 = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1 равна: Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3 . Для события Н2 имеем: m2 = 190, n =1000. Для события Н3 имеем: m3 = 1000 - m1 – m2 = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000. Контроль: Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1 , Н2 , Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле: где: ki – число процентов бракованных ламп в i-й партии. Тогда Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А: = = 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543. Ответ: Р(А) = 0,0543. 8. В первой урне N1 белых и M1 чёрных шаров, во второй N2 белых и M2 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый. Дано: N1 = 20, M1 = 1, N2 = 40, M2 = 7, К = 15. Решение. Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров. Пусть событие А - выбранный шар – белый. Рассмотрим гипотезы: Событие Н1 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного; Событие Н2 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н1 , Н2 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности: Определяемвероятности гипотез Н1 , Н2 с помощью классического определения вероятности: , где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi , n – общее число равновозможных исходов испытания. В первой урне находится (N1 + M1 ) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть n = Находим вероятность гипотезы Н1 . 15 белых шаров из 20 можно выбрать способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1 , используя теорему умножения, будет равно: m = × = Отсюда, вероятность события Н1 равна: Аналогично находим вероятности гипотез Н2 . Для события Н2 имеем: m2 = × = Отсюда, вероятность события Н2 равна: Контроль: Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1 , Н2 соответственно наступили, то есть вероятности , с помощью классического определения вероятности: , где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания. При наступлении события Н1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1 имеем: m1 = 55, a n = 62, отсюда При наступлении события Н2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2 имеем: m2 = 54, a n = 62, отсюда Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А: =0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756 Ответ: Р(А) = 0,8756. 9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые. Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2. Решение. Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки. Пусть событие А - все 2 марки - чистые. Рассмотрим гипотезы: Событие Н1 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки; Событие Н2 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки; Событие Н3 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки. Так как события Н1 , Н2 , Н3 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности: Определяемвероятности гипотез Н1 , Н2 , Н3 с помощью классического определения вероятности: , где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi , n – общее число равновозможных исходов испытания. Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок - способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно: n = Находим вероятность гипотезы Н1 2 чистые марки из 7 можно выбрать способами, а 0 гашенных из 5 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1 , используя теорему умножения, будет равно: m = × = Отсюда, вероятность события Н1 равна: Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3 : Для события Н2 имеем: m2 = × = Отсюда, вероятность события Н2 равна: Для события Н3 имеем: m3 = × = Отсюда, вероятность события Н3 равна: Контроль: Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1 , Н2 , Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и с помощью классического определения вероятности: , где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания. При наступлении события Н1 в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н1 имеем: m1 = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12. Отсюда При наступлении события Н2 в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н2 имеем: m2 = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12. Отсюда При наступлении события Н3 в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н3 имеем: m3 = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12. Отсюда Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А: = 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217. Ответ: Р(А) = 0,217. 10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет mi % изделий. Среди изделий i–го завода ni % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом? Дано: m1 = 60%, m2 = 10%, m3 = 30%, n1 = 80%, n2 = 90%, n3 = 80%, j = 3. Решение. Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие. Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным. Рассмотрим гипотезы: Событие H1 – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе. Событие H2 – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе. Событие H3 – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе. По условию задачи необходимо найти вероятность события Н3 |А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное. Так как события H1 , H2 и H3 образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события воспользуемся формулой Байеса: , где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности: Определяемвероятности гипотез Н1 , Н2 , Н3 с помощью классического определения вероятности: , где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi , n – общее число равновозможных исходов испытания. Для события Н1 имеем: m1 = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н1 равна: Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3 . Для события Н2 имеем: m2 = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н2 равна: Для события Н3 имеем: m3 = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н3 равна: Контроль: Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1 , Н2 , Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле: где: ki –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, mi – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А: = = 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81. Отсюда, по формуле Байеса получим: . Ответ: . 11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз. Дано: n = 5, m = 3. Решение. Испытание состоит в бросании монеты. Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле: Отсюда, искомая вероятность равна: Ответ: 0,2187. 12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 – мелкий выигрыш, и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких. Дано: n = 14, n1 = 2, n2 = 4, р1 = 0,2, р2 = 0,2. Решение. Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких. Рассмотрим события: Событие А1 – выпал крупный выигрыш. Событие А2 – выпал мелкий выигрыш. Событие А3 – билет оказался без выигрыша. Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,2, р2 = 0,2, р3 = 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6. Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей: Отсюда: Ответ: . 13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р . Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k1 ≤ m. Дано:n = 100, p = 0,8, k1 = 70. Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: , где: Ф(х) – функция Лапласа, , По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k1 = 70, k2 = 100. Вычислим х` и x``: , Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938. Искомая вероятность равна: Р100 ( ) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938. Ответ: 0,9938. 14. Дана плотность распределения случайной величины Х. Найти параметр γ, функцию распределения случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0. Решение. Воспользуемся свойством плотности распределения: . В данном случае: , так как при . Тогда: То есть: Тогда получим две функции плотности распределения: Контроль: Функцию распределения случайной непрерывной величины Х найдём по формуле: где: - функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах. 1) При имеем: 2) При исходный интеграл разобьем на два интеграла: 3) При исходный интеграл разобьем на три интеграла: Таким образом, функция распределения примет вид: б) Математическое ожидание находим по формуле: Применяя формулу, получим: в) Найдём дисперсию случайной величины Х : Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле: Тогда дисперсия Определяем вероятность выполнения неравенства -2 < x < 0: Ответ: , М(х) = -2, D(x) = 0,3333, .