Построение математических моделей Содержание Задание 1 Задание 2 Список литературы Вариант 6 Задание 1 Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1). Таблица 1 Время, t 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Выручка, у 3,0 2,9 3,0 3,1 3,2 2,8 2,9 3,4 3,5 3,6 Объем капитало- вложений, х 1,1 1,1 1,2 1,4 1,4 1,4 1,3 1,6 1,3 1,4 1. Построить поле корреляции. 2. Найти параметры уравнения линейной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров а и b. 3. Составить уравнения нелинейных регрессий: · гиперболической ; · степной ; · показательной 4. Для каждой из моделей: - найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции); - найти коэффициент детерминации; - проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера; - найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. 5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик. 6. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом. 7. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза. РЕШЕНИЕ: 1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ Поле корреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1). Рис. 1 Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y. 2. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b. Система нормальных уравнений имеет вид: Необходимые расчеты представлены в таблице 2. Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения. b = 0,843, т.е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн. руб. Таблица 2 Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели t Y X X2 X*Y 1998 3,0 1,1 1,21 3,3 1999 2,9 1,1 1,21 3,19 2000 3,0 1,2 1,44 3,6 2001 3,1 1,4 1,96 4,34 2002 3,2 1,4 1,96 4,48 2003 2,8 1,4 1,96 3,92 2004 2,9 1,3 1,69 3,77 2005 3,4 1,6 2,56 5,44 2006 3,5 1,3 1,69 4,55 2007 3,6 1,4 1,96 5,04 Σ 31,4 13,2 17,64 41,63 3. РАССЧИТАЕМ: - коэффициент парной корреляции. Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи. Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая. Таблица 3 Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации t Y X A 1998 3,0 1,1 0,048 0,020 0,031 2,955 0,015 1999 2,9 1,1 0,048 0,058 0,053 2,955 0,019 2000 3,0 1,2 0,014 0,020 0,017 3,039 0,013 2001 3,1 1,4 0,006 0,002 -0,003 3,207 0,035 2002 3,2 1,4 0,006 0,004 0,005 3,207 0,002 2003 2,8 1,4 0,006 0,116 -0,027 3,207 0,146 2004 2,9 1,3 0,000 0,058 0,005 3,123 0,077 2005 3,4 1,6 0,078 0,068 0,073 3,376 0,007 2006 3,5 1,3 0,000 0,130 -0,007 3,123 0,108 2007 3,6 1,4 0,006 0,212 0,037 3,207 0,109 Σ 31,4 13,2 0,216 0,684 0,182 0,530 коэффициент детерминации Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель. 22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели. Рис. 2 F – критерий Фишера Для проверки значимости уравнения регрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера: Расчетное значение статистики Фишера сравниваем с табличным F(α; d.f.1 ; d.f.2 ), где α – уровень значимости (для большей надежности примем его равным 0,05); Число степеней свободы d.f.1 = k = 1, где k – число факторов в модели; Число степеней свободы d.f.2 = n – k – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 F (0.05; 1; 8) = 5,318. В силу того, что F(расч.) = 2,312 < F(табл.)= 5,318, то уравнение в целом можно считать статистически незначимым. Среднюю относительную ошибку аппроксимации: Фактические значения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибка небольшая, модель считается точной 4. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений имеет вид: Необходимые расчеты представлены в таблице 4. Таблица 4 Вспомогательная таблица для расчетов показателей по гиперболической модели t Y X 1/Х 1/Х^2 Y/X A 1998 3,0 1,1 0,909 0,826 2,727 2,940 0,004 0,020 1999 2,9 1,1 0,909 0,826 2,636 2,940 0,002 0,014 2000 3,0 1,2 0,833 0,694 2,500 3,047 0,002 0,016 2001 3,1 1,4 0,714 0,510 2,214 3,215 0,013 0,037 2002 3,2 1,4 0,714 0,510 2,286 3,215 0,000 0,005 2003 2,8 1,4 0,714 0,510 2,000 3,215 0,172 0,148 2004 2,9 1,3 0,769 0,592 2,231 3,137 0,056 0,082 2005 3,4 1,6 0,625 0,391 2,125 3,341 0,004 0,017 2006 3,5 1,3 0,769 0,592 2,692 3,137 0,132 0,104 2007 3,6 1,4 0,714 0,510 2,571 3,215 0,148 0,107 Σ 31,4 13,2 7,672 5,962 23,983 0,533 0,549 Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: 5. РАССЧИТАЕМ: - индекс корреляции: Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в гиперболической модели слабая - коэффициент детерминации 22,13% изменения выручки предприятия в гиперболической модели происходит под влиянием изменением объема капиталовложений и на 77,87% под влиянием факторов, не включенных в модель. - F – критерий Фишера Проверим значимость уравнения F(расч.) = 2,274< F(табл.)= 5,318, т.е. уравнение в целом можно считать статистически незначимым. Среднюю относительную ошибку аппроксимации: Ошибка меньше 7%, модель можно считать точной. Рис. 3 6. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ СТЕПЕННОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения. Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, X = lg x. Тогда Y = A + b ∙ X – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК. Необходимые расчеты представлены в таблице 5. Построена степенная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: Таблица 5 Вспомогательная таблица для расчетов показателей по степенной модель t y x Y = lg y X = lg x X2 = =lg x2 X*Y = lg x*lg y A 1998 3,0 1,1 0,477 0,041 0,002 0,020 2,946 0,003 0,018 1999 2,9 1,1 0,462 0,041 0,002 0,019 2,946 0,002 0,016 2000 3,0 1,2 0,477 0,079 0,006 0,038 3,035 0,001 0,012 2001 3,1 1,4 0,491 0,146 0,021 0,072 3,200 0,010 0,032 2002 3,2 1,4 0,505 0,146 0,021 0,074 3,200 0,000 0,000 2003 2,8 1,4 0,447 0,146 0,021 0,065 3,200 0,160 0,143 2004 2,9 1,3 0,462 0,114 0,013 0,053 3,120 0,048 0,076 2005 3,4 1,6 0,531 0,204 0,042 0,108 3,350 0,002 0,015 2006 3,5 1,3 0,544 0,114 0,013 0,062 3,120 0,145 0,109 2007 3,6 1,4 0,556 0,146 0,021 0,081 3,200 0,160 0,111 Σ 31,4 13,2 4,955 1,178 0,163 0,592 0,532 0,531 7. РАССЧИТАЕМ: индекс корреляции: Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели слабая. коэффициент детерминации Степенная модель всего на 13,44% детерминирует зависимость выручки предприятия от объема капиталовложений. 86,56% детерминации происходит под влиянием факторов не учтенных в модели. F – критерий Фишера Проверим значимость уравнения F(расч.) = 1,242 < F(табл.)= 5,318, т.е. уравнение степенной модели в целом можно считать статистически незначимым. Среднюю относительную ошибку аппроксимации: Ошибка меньше 7%, степенную модель можно считать точной. Рис. 4 8. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ Произведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения. Сделаем замену переменной Y = lg y, A = lg a, В = lg b. Тогда Y = A + B ∙ x – линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК. Необходимые расчеты представлены в таблице 6. Таблица 6 Вспомогательная таблица для расчетов показателей по показательной модели t y x Y = lg y x2 x*Y = x*lg y A 1998 3,0 1,1 0,477 1,21 0,525 2,953 0,002 0,016 1999 2,9 1,1 0,462 1,21 0,509 2,953 0,003 0,018 2000 3,0 1,2 0,477 1,44 0,573 3,032 0,001 0,011 2001 3,1 1,4 0,491 1,96 0,688 3,196 0,009 0,031 2002 3,2 1,4 0,505 1,96 0,707 3,196 0,000 0,001 2003 2,8 1,4 0,447 1,96 0,626 3,196 0,157 0,141 2004 2,9 1,3 0,462 1,69 0,601 3,113 0,045 0,073 2005 3,4 1,6 0,531 2,56 0,850 3,369 0,001 0,009 2006 3,5 1,3 0,544 1,69 0,707 3,113 0,150 0,111 2007 3,6 1,4 0,556 1,96 0,779 3,196 0,163 0,112 Σ 31,4 13,2 4,955 17,640 6,565 0,531 0,524 Построена показательная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений: 9. РАССЧИТАЕМ: индекс корреляции: Связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия в степенной модели очень слабая. коэффициент детерминации В показательной модели изменение выручки на 22,30% обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,70% - влиянием факторов, не включенных в модель. F – критерий Фишера Проверим значимость уравнения F(расч.) = 2,297 < F(табл.) = 5,318, т.е. показательное уравнение в целом можно считать статистически незначимым. Среднюю относительную ошибку аппроксимации: Ошибка меньше 7%, показательную модель можно считать точной. Рис. 5 10. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (таблица 7) Таблица 7 Пар- аметры Модель линейная гиперболическая степенная показательная Ryx 0,4735 0,4705 0,3666 0,4723 Ryx 2 0,2242 0,2213 0,1344 0,2230 Fрасч 2,31 2,27 1,24 0,78 A, % 5,30 5,49 5,31 5,24 Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, F – критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Т.е. она лучше и точнее из всех построенных моделей описывает зависимость выручки от объема капиталовложений. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. 11. СДЕЛАЕМ ПРОГНОЗ НА СЛЕДУЮЩИЕ ДВА ГОДА показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10 % по сравнению с последним годом. Лучшей является линейная модель вида Сначала найдем прогнозные значения показателя х (объем капиталовложений). В 2007 году объем капиталовложений составил 1,4 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит – 1,4 ∙ 1,1 = 1,54 млн. руб., а в 2009 году - 1,54 ∙ 1,1 = 1,69 млн. руб. Подставим прогнозные значения х в уравнение регрессии Это будут точечные прогнозы результата у (выручка предприятия). В 2008 году выручка предприятия составит: 2,028+0,843*1,54 = 3,33 (млн. руб.) В 2009 году: 2,028+0,843*1,69 = 3,46 (млн. руб.) Рис. 6 Задание 2 Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х1 , млн. руб.) и основных производственных фондов (х2 , млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 8) Таблица 8 Время, t 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Выручка, у 3,0 2,9 3,0 3,1 3,2 2,8 2,9 3,4 3,5 3,6 Объем капитало- вложений, х1 1,1 1,1 1,2 1,4 1,4 1,4 1,3 1,6 1,3 1,4 Основные производственные фонды, х2 0,4 0,4 0,7 0,9 0,9 0,8 0,8 1,1 0,4 0,5 1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата у и факторов х1 и х2 . Установить, проявляется ли в модели мультиколлинеарность. 2. Построить линейную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров b1 и b2 . 3. Построить степенную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров β1 и β2 . 4. Для каждой из моделей: - найти коэффициент множественной корреляции; - найти коэффициент детерминации; - проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера; - найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. 5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель. 6. Пояснить экономический смысл всех рассчитанных характеристик. 7. Найти частные коэффициенты эластичности и β – коэффициенты. 8. По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя у (выручка), в зависимости от х1 (объема капиталовложений) и х2 (основных производственных фондов). РЕШЕНИЕ: 1. ПОСТРОИМ МАТРИЦУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ. Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле: Необходимые расчеты представлены в таблице 9. - связь между выручкой предприятия Y и объемом капиталовложений Х1 слабая и прямая; - связи между выручкой предприятия Y и основными производственными фондами Х2 практически нет; - связь между объемом капиталовложений Х1 и основными производственными фондами Х2 тесная и прямая; Таблица 9 Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов парных корреляций t Y X1 X2 (y-yср)2 (х1-х1ср)2 (x2-x2ср)2 (y-yср)* (x1-x1ср) (y-yср)* (x2-x2ср) (х1-х1ср)* (x2-x2ср) 1998 3,0 1,1 0,4 0,0196 0,0484 0,0841 0,0308 0,0406 0,0638 1999 2,9 1,1 0,4 0,0576 0,0484 0,0841 0,0528 0,0696 0,0638 2000 3,0 1,2 0,7 0,0196 0,0144 1E-04 0,0168 -0,0014 -0,0012 2001 3,1 1,4 0,9 0,0016 0,0064 0,0441 -0,0032 -0,0084 0,0168 2002 3,2 1,4 0,9 0,0036 0,0064 0,0441 0,0048 0,0126 0,0168 2003 2,8 1,4 0,8 0,1156 0,0064 0,0121 -0,0272 -0,0374 0,0088 2004 2,9 1,3 0,8 0,0576 0,0004 0,0121 0,0048 -0,0264 -0,0022 2005 3,4 1,6 1,1 0,0676 0,0784 0,1681 0,0728 0,1066 0,1148 2006 3,5 1,3 0,4 0,1296 0,0004 0,0841 -0,0072 -0,1044 0,0058 2007 3,6 1,4 0,5 0,2116 0,0064 0,0361 0,0368 -0,0874 -0,0152 Σ 31,4 13,2 6,9 0,684 0,216 0,569 0,182 -0,036 0,272 Средн. 3,14 1,32 0,69 Также матрицу коэффициентов парных корреляций можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗ ДАННЫХ, инструмента КОРРЕЛЯЦИЯ. Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид: Y X1 X2 Y 1 X1 0,4735 1 X2 -0,0577 0,7759 1 Матрица парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный признак у (выручка) имеет слабую связь с объемом капиталовложений х1 , а с Размером ОПФ связи практически нет. Связь между факторами в модели оценивается как тесная, что говорит о их линейной зависимости, мультиколлинеарности. 2. ПОСТРОИТЬ ЛИНЕЙНУЮ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений. Расчеты представлены в таблице 10. Решим систему уравнений, используя метод Крамера: Таблица 10 Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели множественной регрессии y x1 x2 x1 2 x1*x2 x2 2 y*x1 y*x2 3,0 1,1 0,4 1,21 0,44 0,16 3,3 1,2 2,9 1,1 0,4 1,21 0,44 0,16 3,19 1,16 3,0 1,2 0,7 1,44 0,84 0,49 3,6 2,1 3,1 1,4 0,9 1,96 1,26 0,81 4,34 2,79 3,2 1,4 0,9 1,96 1,26 0,81 4,48 2,88 2,8 1,4 0,8 1,96 1,12 0,64 3,92 2,24 2,9 1,3 0,8 1,69 1,04 0,64 3,77 2,32 3,4 1,6 1,1 2,56 1,76 1,21 5,44 3,74 3,5 1,3 0,4 1,69 0,52 0,16 4,55 1,4 3,6 1,4 0,5 1,96 0,7 0,25 5,04 1,8 31,4 13,2 6,9 17,64 9,38 5,33 41,63 21,63 Линейная модель множественной регрессии имеет вид: Если объем капиталовложений увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,317 млн. руб. при неизменных размерах основных производственных фондов. Если основные производственные фонды увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться в среднем на 1,171 млн. руб. при неизменном объеме капиталовложений. 3. РАССЧИТАЕМ: коэффициент множественной корреляции: Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная. коэффициент детерминации: 67,82% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 32,18% - влиянием факторов, не включенных в модель. F – критерий Фишера Проверим значимость уравнения Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2 (количество факторов), числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74. Так как Fрасч. = 7,375 > Fтабл. = 4.74, то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым. Рассчитанные показатели можно найти в среде Excel с помощью надстройки АНАЛИЗА ДАННЫХ, инструмента РЕГРЕССИЯ. Таблица 11 Вспомогательные вычисления для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации y x1 x2 yрасч . y-yрасч А 3,0 1,1 0,4 2,97 0,03 0,010 2,9 1,1 0,4 2,97 -0,07 0,024 3,0 1,2 0,7 2,85 0,15 0,050 3,1 1,4 0,9 3,08 0,02 0,007 3,2 1,4 0,9 3,08 0,12 0,038 2,8 1,4 0,8 3,20 -0,40 0,142 2,9 1,3 0,8 2,96 -0,06 0,022 3,4 1,6 1,1 3,31 0,09 0,027 3,5 1,3 0,4 3,43 0,07 0,019 3,6 1,4 0,5 3,55 0,05 0,014 0,353 среднюю относительную ошибку аппроксимации В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 3,53 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной. 4. Построить степенную модель множественной регрессии Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства lg y = lg a + β1 ∙ lg x1 + β2 ∙ lg x2 . Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X1 = lg x1 , X2 = lg x2 . Тогда Y = A + β1 ∙ X1 + β2 ∙ X2 – линейная двухфакторная модель регрессии. Можно применить МНК. Расчеты представлены в таблице 12. Таблица 12 Вспомогательные вычисления для нахождения параметров степенной модели множественной регрессии y x1 x2 lg x1 lg x2 lg y lg2 x1 lg x1 * lg x2 lg y*lg x1 lg2 x2 lg y* lg x2 3,0 1,1 0,4 0,041 -0,398 0,477 0,002 -0,016 0,020 0,158 -0,190 2,9 1,1 0,4 0,041 -0,398 0,462 0,002 -0,016 0,019 0,158 -0,184 3,0 1,2 0,7 0,079 -0,155 0,477 0,006 -0,012 0,038 0,024 -0,074 3,1 1,4 0,9 0,146 -0,046 0,491 0,021 -0,007 0,072 0,002 -0,022 3,2 1,4 0,9 0,146 -0,046 0,505 0,021 -0,007 0,074 0,002 -0,023 2,8 1,4 0,8 0,146 -0,097 0,447 0,021 -0,014 0,065 0,009 -0,043 2,9 1,3 0,8 0,114 -0,097 0,462 0,013 -0,011 0,053 0,009 -0,045 3,4 1,6 1,1 0,204 0,041 0,531 0,042 0,008 0,108 0,002 0,022 3,5 1,3 0,4 0,114 -0,398 0,544 0,013 -0,045 0,062 0,158 -0,217 3,6 1,4 0,5 0,146 -0,301 0,556 0,021 -0,044 0,081 0,091 -0,167 31,4 13,2 6,9 1,178 -1,894 4,955 0,163 -0,165 0,592 0,614 -0,943 Решаем систему уравнений применяя метод Крамера. Степенная модель множественной регрессии имеет вид: В степенной функции коэффициенты при факторах являются коэффициентами эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов измениться в среднем значение результативного признака у, если один из факторов увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов. Если объем капиталовложений увеличить на 1%, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,897% при неизменных размерах основных производственных фондов. Если основные производственные фонды увеличить на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на 0,226% при неизменных капиталовложениях. 5. РАССЧИТАЕМ: коэффициент множественной корреляции: Связь выручки предприятия с объемом капиталовложений и основными производственными фондами тесная. Таблица 13 Вспомогательные вычисления для нахождения коэффициента множественной корреляции, коэффициента детерминации, ср.относ.ошибки аппроксимации степенной модели множественной регрессии Y X1 X2 Y расч. (Y-Yрасч .)2 (Y-Yср )2 A 3,0 1,1 0,4 2,978 0,000 0,020 0,007 2,9 1,1 0,4 2,978 0,006 0,058 0,027 3,0 1,2 0,7 2,838 0,026 0,020 0,054 3,1 1,4 0,9 3,079 0,000 0,002 0,007 3,2 1,4 0,9 3,079 0,015 0,004 0,038 2,8 1,4 0,8 3,162 0,131 0,116 0,129 2,9 1,3 0,8 2,959 0,003 0,058 0,020 3,4 1,6 1,1 3,317 0,007 0,068 0,024 3,5 1,3 0,4 3,460 0,002 0,130 0,012 3,6 1,4 0,5 3,516 0,007 0,212 0,023 31,4 13,2 6,9 0,198 0,684 0,342 коэффициент детерминации: 71,06% изменения выручки предприятия в степенной модели обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 28,94 % - влиянием факторов, не включенных в модель. F – критерий Фишера Проверим значимость уравнения Табличное значение F – критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы d.f.1 = k = 2, числе степеней свободы d.f.2 = (n – k – 1) = (10 – 2 – 1) = 7 составит 4,74. Так как Fрасч. = 8,592 > Fтабл. = 4.74, то уравнение степенной регрессии в целом можно считать статистически значимым. среднюю относительную ошибку аппроксимации В среднем в степенной модели расчетные значения отличаются от фактических на 3,42 %. Ошибка небольшая, модель можно считать точной. 6. СОСТАВИМ СВОДНУЮ ТАБЛИЦУ ВЫЧИСЛЕНИЙ (табл. 14) Таблица 14 Параметры Модель линейная степенная