Элементы алгебры и геометрии Контрольная работа «Элементы алгебры и геометрии» Вариант 9 Задание № 19 Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Найдем определитель матрицы А: Δ(А) = = = 2 ∙ 1 ∙6 + (-3) (-2) ∙3 + 1 ∙ 1 ∙ (-2) – 1 ∙ 1 ∙ 3 – (-3) ∙ 1 ∙ 6 – 2 (-2) ∙ (-2) = = 12 + 18 – 2 – 3 + 18 – 8 = 48 – 13 = 35 Δ(А) = 35 Найдём Δ1 , Δ2 , Δ3 Δ1 = = = 3 ∙ 1 ∙ 6 + (-3) (-2) ∙ 0 + 1 ∙ 4 ∙(-2) – 0 ∙1 ∙ 1 – 4 ∙ (-3) ∙ 6 – 3 (-2) (-2) = = 18 + 0 – 8 – 0 + 72 – 12 = 90 – 20 = 70 Δ2 (А) = = = 2 ∙ 4 ∙ 6 + 3 ∙ (-2) ∙ 3 + 1 ∙ 1 ∙ 0 – 3 ∙ 4 ∙ 1 – 1 ∙ 3 ∙ 6 – 2 ∙ 0 ∙ (-2) = = 48 – 18 + 0 – 12 -18 – 0 = 0 Δ3 = = = 2 ∙ 1 ∙ 0 + (-3) 4 ∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙(-2) – 3 ∙1 ∙ 3 – 1 ∙ (-3) ∙ 0 – 2 ∙ (-2) 4 = = 0 – 36 – 6 – 9 + 0 + 16 = – 20 – 15 = – 35 Найдем корни: Ответ: 2; 0; –1 Задание № 40 Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить её, если она совместна. Запишем матрицу А и найдем ранг матрицы А: Поменяем местами первую и вторую строки: Первую строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью: Вычтем из второй строки – третью: Ранг матрицы Запишем расширенную матрицу Найдем определитель расширенной матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки: Умножим первую строку на 3 и вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью: Вычтем из второй строки третью: Ранг расширенной матрицы Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений). Задание № 54 Даны координаты точек А (х1 ;у1 ) и В (х2 ;у2 ) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат. Требуется: 1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4) построить эллипс и окружность. Решение: 1. Общий вид канонического уравнения эллипса: Подставим координаты точек А и В в общее уравнение: Подставляем найденные переменные в общее уравнение эллипса: 2. Полуоси: 3. Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8, найдем решив систему уравнений: Получили четыре точки пересечения эллипса с окружностью: 4. Задание № 69 Дано: вершины пирамиды АВСD 1. Записать векторы в системе орт и найти их модули: А (3; 3; –3); В (7; 7; –5); С (5; 14; –13); D (3; 5; –2). = (7 – 3; 7 – 3; –5 + 3) = (4; 4; –2)$ ; = = 6; = (5 – 3; 14 – 3; –13 + 3) = (2; 11; –10); = 2i + 11j – 10k; = 15; = (3 – 3; 5 – 3; –2 + 3) = (0; 2; 1); = = 2. Найти угол между векторами и : 3. Найти проекцию вектора на вектор : Найти площадь грани АВС: = ; Найти объем пирамиды ABCD: = = Задание № 93 Даны координаты точек А, В, С, М: А (5; 4; 1); В (–1; –2; –2); С (3; –2; 2); М (–5; 5; 4). 1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С: = 0; = 0; (x – 5)( – 6 – 18) – (y – 4)( – 6 – 6) + (z – 1)(36 – 12) = 0; – 24(x – 5) + 12(y – 4) + 24(z – 1) = 0; – 2(x – 5) + (y – 4) + 2(z – 1) = 0; –2x + 10 + y – 4 + 2z – 2 = 0; –2x + y + 2z + 4 = 0 – уравнение плоскости Q. 2.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q: Подставим координаты точки М (–5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q (–2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой: 3.Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, уОz, xOz: пусть Где t – некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так: Подставим данные выражения в уравнение плоскости Q и найдем параметр t: Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения: Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой и плоскости Q: Р . Р1 – точка пересечения прямой с с хОу: z = 0; P1 (2,6; 1,2; 0). P2 – точка пересечения прямой с уОz: x = 0; P2 (0; 1,6; 2,8). Р3 - точка пересечения прямой с xOz: y = 0; ; P3 (0,5; 0; 1,5). Найти расстояние от точки М до плоскости Q: т.к. прямая МР перпендикулярна плоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием от точки М до плоскости Q. Производная и дифференциал Задание № 114 Найти пределы: Разложим на множители и числитель и знаменатель: Задание № 135 Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. 1. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Данная функция определена и непрерывна в интервалах ( При и меняется аналитическое выражение функции и только в этих точках функция может иметь разрывы. Определим односторонние пределы в Т.к. односторонние пределы в не совпадают, значит разрыв I рода. Определим односторонние пределы в точке : Т.к. односторонние пределы в точке совпадают, значит функция в точке непрерывна. 2. Найти скачок функции в точке разрыва: точка разрыва Задание № 198 Найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций. или Задание № 156 Найти производные пользуясь формулами дифференцирования: Задание №240 Исследовать функцию методами дифференциального исчисления. Начертить график. План исследования: 1.найти область существования функции; 2.исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и её односторонние пределы в этих точках; 3. исследовать на четность, нечетность; 4. найти точки экстремума, интервалы возрастания, убывания функции; 5. найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости; 6.асимптоты, если они есть; 7. построить график. Задание № 272 Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды с заданной боковой поверхностью . Каковы должны быть размеры палатки (сторона а и высота h) чтобы вместимость палатки была наибольшей. Решение: Вместимость палатки – это объем палатки. Объем правильной пирамиды находится по формуле где а – сторона квадрата (основание пирамиды), h – высота пирамиды. Выразим высоту пирамиды через сторону квадрата: