Интеграл дифференциального уравнения АНО ВПО «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ЕКАТЕРИНЫ ВЕЛИКОЙ» Контрольное задание По дисциплине: «Математика» Москва 2010 г. Контрольное задание: Упражнения 1. Дана последовательность аn =(3n-5)/(4n+1). Установить номер n0 , начиная с которого выполняется неравенство │аn -А │ < 1/500. Отв. n0 =719. Найти: 2. lim (3-√х)/(х2 -81).Отв. –1/108. х→9 3. lim (5х2 -8)/(х3 -3х2 +11).Отв. 0. х→∞ Проверить непрерывность следующих функций: 4. у=5х/(х3 +8).Отв. При всех х≠–2 функция непрерывна. 5. у=(х2 +4)/ √(х2 -36). Отв. Функция непрерывна при всех значениях │х│>6. 6. Определить точки разрыва функции у=(8х+2)/(16х2 -1). Отв . Точки х1 =–1/4 и х2 =1/4. Задача 1 Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение Выполним разделение переменных, для этого разделим обе части уравнения на : Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования: Ответ Задача 2 Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение: Решение Решение однородных дифференциальных уравнений осуществляется при помощи подстановки: , С учетом этого, исходное уравнение примет вид: Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на , получим, Проинтегрируем обе части уравнения и выполним преобразования: Возвращаясь к переменной y , получим общий интеграл исходного уравнения: Ответ Задача 3 Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение Покажем, что данное уравнение является однородным, т.е. может быть представлено в виде, . Преобразуем правую часть уравнения: Следовательно, данное уравнение является однородным и для его решения будем использовать подстановку, С учетом этого, уравнение примет вид: Выполним разделение переменных, для этого умножим обе части уравнения на , Проинтегрируем обе части уравнения, Возвращаясь к переменной y , получим, Ответ Задача 4 Решить линейное дифференциальное уравнение: Решение Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то решение дифференциального уравнения будет иметь вид: Ответ Задача 5 Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , где – частное решение исходного неоднородного ДУ, – общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Так как корни характеристического уравнения действительные и совпадают, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид: Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде, , где A , B , C – неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты в исходное уравнение: Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их: Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид: Окончательно, общее решение исходного ДУ: Ответ Задача 6 Решить уравнение: Решение Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде: , где – частное решение исходного неоднородного ДУ, – общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Так как корни характеристического уравнения действительные и различны, то общее решение однородного ДУ будет иметь вид: Учитывая, что правая часть имеет специальный вид, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде, , где A , B , C – неопределенные коэффициенты. Найдем первую и вторую производные по x от и подставим полученные результаты в исходное уравнение: Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x и определим их: Следовательно, частное решение неоднородного ДУ примет вид: Окончательно, общее решение исходного ДУ: Ответ Комментарии к решению В задаче №1, опечатка в предполагаемом ответе, упущен показатель степени при x . В задаче №3, ответ следует оставить в виде, содержащем модуль , т.к. нет достаточных оснований его снять.