Методы коллокаций и Галеркина Метод коллокаций Пусть необходимо определить функцию , удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению (2.50) и линейными краевыми условиями , (2.51) причем Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций (2.52) которую назовем системой базисных функций. Пусть функция удовлетворяет неоднородным краевым условиям (2.53) а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям: . (2.54) Если краевые условия (2.51) однородны (A = B = 0), то можно положить и рассматривать лишь систему функций . Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций . (2.55) Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем и аналогично Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь .(2.56) Если при некотором выборе коэффициентов ci выполнено равенство при то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции и коэффициенты ci в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция обращалась в нуль в заданной системе точек из интервала [a ,b ], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю. Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений . (2.57) Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55). Пример .Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу (2.58) 1. Метод коллокаций. В качестве базисных функций выберем полиномы . Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы: Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим Найдем функцию (2.59) В точках коллокации получим . Подставляя сюда (2.59), найдем (2.60) Решив эту систему, определимкоэффициенты : = 0.957, = − 0.022. Следовательно, приближенное решение будет иметь вид . Например, при x = 0получим y (0)= 0.957. 2. Метод сеток. Для грубого решения выбираем шаг h = 1/2 (см. рис. 2). Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток Полагая , ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь: (2.61) Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y 0 и . Полагая x = 0и пользуясь симметричными формулами для производных , получим: Аналогично, при x = 1/2, то есть при i = 1, получаем Учитывая теперь (2.61), найдем систему Решая эту систему, отыщем y 0 = 0.967,y 1 = 0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y 0 = 0.957, а метод сеток y 0 = 0.967. Метод Галеркина Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями , (2.62) (2.63) Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы (2.64) где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям (2.65) и, кроме того функции при образуют в классе функций c 2 [a ,b ], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему. Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом. Обозначим через G класс функций y ( x ) , принадлежащих c 2 [a ,b ](то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a ,b ]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций полна в классе G , если для любого и любой функции можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство где Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция , которая на [a ,b ]будет сколь угодно точно приближать функцию y ( x ) вместе с ее производными и . Докажем, что если для некоторой функции F ( x ) и полной системы функций выполняется соотношение ортогональности (2.66) то функция . Для этого из полной системы последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему причем иначе были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F ( x ) , найдем Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству (2.67) Вычислим последний интеграл: так как Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид . Полагая здесь k = 1, получим , и так как , то . Полагая k = 2, получим , и так далее. Следовательно, все коэффициенты в разложении функции F ( x ) равны нулю и поэтому F ( x ) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать. Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y ( x ) , удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы было ортогонально при любых , то это означало бы, что ,и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при , то в разложении по системе входят и более старшие коэффициенты, то есть Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности к функциям полной системы для , то есть (2.68)где Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a k . Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение. Если оператор нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов. В методе Галеркина функция должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому можно выбрать в виде , и коэффициенты найти как решение системы уравнений Таким же образом отыскиваются функции . Выберем, например, полную систему в виде многочленов последовательных степеней: . Коэффициенты найдем из однородных краевых условий (2.65) (2.65а ) при всех . Так, для и условия (2.65а ) принимают вид: В этой системе из двух уравнений три неизвестных: и . Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, . Аналогично отыскивают коэффициенты для . Для простых условий вида то есть функции можно вычислять по правилу или Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами ak уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L . Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения с условиями В качестве системы базисных функций выберем Ограничимся четырьмя функциями , то есть k = 0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде Найдем функцию . Так как , а , , то получим Потребует теперь ортогональности функции F ( x ) к функциям . Это приводит к системе Подставляя сюда вместо выражение этой функции и производя интегрирования, найдем Решение этой системы: Следовательно, Пример 2. Решим задачу Положим и выберем полную систему функций Ограничиваясь k =1, легко получить Если же взять два члена, то получим Можно рассчитать следующую таблицу: x Точное решение 0.241 0.445 0.208 0.322 0.685 0.325 0.241 0.582 0.273