Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени Файл : FERMA-2mPF-for © Н . М . Козий , 2007 Авторские права защищены свидетельствами Украины № 27312 и № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(http://soluvel.okis.ru/evrika.html): А n + В n = С n /1/ где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах. Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом: А n = С n -В n /2/ Пусть показатель степени n =2 m . Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом: А2 m = С2 m –В2 m /3/ Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах) Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: С2 =А2 + В2 , /4/ где: С – гипотенуза; А и В – катеты. Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А , В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми. Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах. Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом: А2 = С2 –В2 /5/ Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных. Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С . Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: А2 =( C - B )∙( C + B ) /6/ Используя метод замены переменных, обозначим: C - B = M /7/ Из уравнения /7/ имеем: C = B + M /8/ Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем: А2 = M ∙ ( B + M + B )= M ∙(2 B + M ) = 2 BM + M 2 /9/ Из уравнения /9/ имеем: А2 - M 2 =2 BM /10/ Отсюда: B = /11/ Из уравнений /8/ и /11/ имеем: C= /12/ Таким образом: B = / 13/ C /14/ Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A 2 на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A 2 . Числа А и M должны иметь одинаковую четность . По формулам /13/ и /14/ определяются числа B иC как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M . Из изложенного следует: 1. Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B иC ( приM =1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B иC . 3. Квадрат числа Am равен разности квадратов нескольких пар чисел. 4. Все числа A > 2 являются пифагоровыми. Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А , В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А , В и С выражаются целыми числами. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Вариант 1 Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом: А2 m = С2 m –В2 m =(С m –В m )∙(С m +В m ) /15/ Тогда в соответствии с уравнениями /13/ и /14/ запишем: Bm = /16/ Cm /17/ Из уравнений /16/ и /17/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A 2 m на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A 2 m .Следовательно, число A 2 m должно быть равно: A 2 m = M · D , /18/ где D – целое число. Тогда : Bm = /19/ А число Cm с учетом уравнения /8/ равно: Cm = Bm + M = /20/ Тогда из уравнений /19/ и /20/ следует: B = /21/ C /22/ Если допустить, что В – целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях /21/ и /22/ отличаются всего на 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Вариант 2 Выше в доказательстве теоремы Пифагора доказано, что все натуральные числа являются пифагоровыми. Следовательно, все натуральные числа распределяются на тройки пифагоровых чисел и, следовательно, все тройки пифагоровых чисел удовлетворяют уравнению /4/: С2 =А2 + В2 /23/ Пифагоровы числа (А, В, С) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а их квадраты могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на гипотенузе и катетах этого треугольника. Умножив приведенное уравнение на С, получим: С3 =А2 ∙ С+ В2 · С /24/ Из уравнения /24/ следует, что объем куба раскладывается на два объема двух параллелепипедов. Поскольку очевидно, что в уравнении /23/ А< C и В< C , то из уравнения/24/ следует: С3 >А3 + В3 /25/ На всем множестве троек пифагоровых чисел ( а все натуральные числа образуют тройки пифагоровых чисел) при показателе степени n =3 не может быть ни одного решения уравнения /1/: А n + В n = С n Следовательно, на всем множестве натуральных чисел невозможно куб разложить на два куба. Умножив уравнение /23/ на С2 , получим: С2 ∙С2 =А2 ·С2 + В2 ∙С2 /26/ Все члены этого уравнения представляют собой объемы параллелепипедов: параллелепипед С2 ∙С2 имеет в основании квадрат со стороной С и высоту С2 ; параллелепипед А2 ∙С2 имеет в основании квадрат со стороной А и высоту С2 ; параллелепипед В2 ∙С2 имеет в основании квадрат со стороной В и высоту С2 . Следовательно, в соответствии с уравнением /26/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А< C и В< C , то из уравнения/26/ следует: С4 >А4 + В4 /27/ В общем случае уравнение /26/ можно записать следующим образом: С2 ∙С n -2 =А2 ·С n -2 + В2 ∙С n -2 /28/ С n =А2 ·С n -2 + В2 ∙С n -2 /29/ Следовательно, в соответствии с уравнениями /28/ и /29/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А< C и В< C , то из уравнения/29/ следует: С n >А n + В n /30/ Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных показателях степени.