Дифференцирование. Интегрирование Задание 1. Найти производные функций a) Пусть , , тогда b) Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле . Перейдем от десятичного логарифма к натуральному: По свойству логарифма Таким образом, c) Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х: Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции Областью определения функции являются все действительные числа, кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна . Функция нечетная , т. к. Функция не пересекается с осями координат (уравнение y =0 не имеет решений). Найдем производную функции: . Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю. Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞) и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1). Функция имеет экстремумы : максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1. Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость . Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода. В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый. Асимптоты графика функции : 1) вертикальная асимптота – прямая х=0 Т.к. и 2) горизонтальных асимптот нет, т. к. и 3) наклонных асимптот нет, т. к. и Задание 3 . Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x 2 + 2 x – y 2 ) Найдем частные производные первого порядка. М (1; 0) – стационарная точка. Найдем вторые производные и их значения в точке М. >0 Следовательно, функция Z = ln (3 – x 2 + 2 x – y 2 ) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A < 0. Задание 4 . Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием a) Решаем методом замены переменной. Положим , тогда , Таким образом, получаем Вернемся к переменной х. Проверим дифференцированием: b) Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850] С Проверим дифференцированием: c) Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем Подстановка приводит интеграл к виду Возвращаясь к аргументу х, получаем Таким образом, , где С=С1 +С2 Проверим дифференцированием: Задание 5 . Вычислить определенный интеграл Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим Вернемся к переменной х. Таким образом , Библиографический список 1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил. 2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.