Вычисления по теории вероятностей Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия; б) не более 2 изделий. Решение. А) Используя классическое определение вероятности: Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия; m – кол-во благоприятных исходов события А; n – количество всех возможных исходов; Б) Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий, ; – кол-во благоприятных исходов события ; – кол-во благоприятных исходов события ; – кол-во благоприятных исходов события ; n’ – количество всех возможных исходов; Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%. Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей. Решение. По формуле полной вероятности: где А – взятие хорошей детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку небракованной детали. ; (т. к. ) = 1% = 0.01) ; ; Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%. Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата. Решение. По формуле полной вероятности: где А’ – взятие бракованной детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку бракованной детали. ; (согласно условию) ; ; Согласно формуле Байеса: Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%. Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену? Решение. Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков: где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену. . Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3. Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05. Все промежуточные вычисления поместить в таблице. Магазин №1 Магазин №2 20,35 20,01 20,60 23,55 32,94 25,36 37,56 30,68 40,01 35,34 25,45 23,20 Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине. Формулируем гипотезы Н0 и Н1 : Н0 : a1 = a2 Н1 : a1 ≠ a2 xi xi-a1 (xi-a1)2 yi yi-a2 (yi-a2)2 20,35 -9,135 83,44823 20,01 -6,35 40,32 20,6 -8,885 78,94323 23,55 -2,81 7,896 32,94 3,455 11,93703 25,36 -1 1 37,56 8,075 65,20563 30,68 18,66 40,01 10,525 110,7756 35,34 4,32 80,64 25,45 -4,035 16,28123 23,20 8,98 9,98 ∑ 176,91 366,591 158,14 -3,16 158,496 a1 = = = 29,485, a2 = = 1 = = 73.32 2 = = n 1 = n 2 = n =6 Вычислю выборочное значение статистики: ZВ = * = Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1 +n2 -2)= 2.228. Следовательно, так как ZВ =0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0 , потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором. Задача 6. По данному статистическому ряду: 1. Построить гистограмму частот. 2. Сформулировать гипотезу о виде распределения. 3. Найти оценки параметров распределения. 4. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины. Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы. Интервал Частота случайной величины 1 – 2 5 2 – 3 8 3 – 4 19 4 – 5 42 5 – 6 68 6 -7 44 7 – 8 21 8 – 9 9 9 – 10 4 1. Гистограмма частот: 2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение. 3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу: № Интервалы Частота, mi Середина Интервала, xi xi *mi xi 2 *mi 1 1–2 5 4,5 7,5 112,5 2 2–3 8 2,5 20 50 3 3–4 19 3,5 66,5 232,75 4 4–5 42 4,5 189 350,5 5 5–6 68 5,5 374 2057 6 6–7 44 6,5 286 1859 7 7–8 21 7,5 157,5 1181,25 8 8–9 9 8,5 76,5 650,25 9 9–10 4 9,5 38 361 ∑ n=220 1215 7354,25 Найдем оценки параметров распределения: = = 5,523 2 = 2 = 2,925 = = 1,71 4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы. № Интервалы Частоты, mi t1 t2 Ф(t1 ) Ф(t2 ) pi 1 -∞ – 2 5 -∞ -2,06 0 0,0197 0,0197 2 2–3 8 -2,06 -1,47 0,0197 0,0708 0,0511 3 3–4 19 -1,47 -0,89 0,0708 0,1867 0,1159 4 4–5 42 -0,89 -0,31 0,1867 0,3783 0,1916 5 5–6 68 -0,31 0,28 0,3783 0,6103 0,232 6 6–7 44 0,28 0,86 0,6103 0,8051 0,1948 7 7–8 21 0,86 1,45 0,8051 0,9265 0,1214 8 8–9 9 1,45 2,03 0,9265 0,9788 0,0523 9 9-∞ 4 2,03 ∞ 0,9788 1 0,0212 Где: t1 = , t2 = , ai , bi – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения нормального закона. pi = Ф(t2 ) – Ф(t1 ) Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений: № интервала pi mi n* pi 1 2 0,0708 13 15,57 0,4242 3 0,1159 19 25,5 1,6569 4 0,1916 42 42,15 0,0005 5 0,232 68 51,04 5,6336 6 0,1948 44 42,86 0,0303 7 0,1214 21 26,71 1,2207 8 9 0,0735 13 16,17 0,6214 ∑ 9,5876 Согласно расчетам, = = 9,5876 Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении. 0,95 (7–2–1) = 0,95 (4) = 9,49. Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается. Задача 7. По данным выборки вычислить: а) выборочное значение коэффициента корреляции; б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции. Решение Формулируем гипотезы Н0 и Н1 : Н0 : a1 = a2 Н1 : a1 ≠ a2 xi xi-a1 (xi-a1)2 yi yi-a2 (yi-а2)2 xi*yi 4,40 -0,476 0,2266 3,27 -0,47 0,2209 14,388 5,08 0,204 0,0416 4,15 0,41 0,1681 21,082 4,01 -0,866 0,7499 2,95 -0,79 0,6241 11,829 3,61 -1,266 1,6027 1,96 -1,78 3,1684 7,075 6,49 1,614 2,605 5,78 2,04 4,1616 37,512 4,23 -0,646 0,4173 3,06 -0,68 0,4824 12,944 5,79 0,914 0,8354 4,45 0,71 0,5041 25,765 5,52 0,644 0,4147 4,23 0,49 0,2401 23,349 4,68 -0,196 0,0384 3,54 -0,2 0,04 16,567 4,95 0,074 0,0055 4,01 0,27 0,0729 19,849 ∑ 48,76 - 6,9371 37,4 - 9,6626 190,36 a1 = = 4,876, a2 = = 3,74 1 = = 0,7708 2 = = 1,0736 n 1 = n 2 = n =6 а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции = б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции: (n-2)=2,306 Вычислим величину = получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым. Задача 8. По данным выборки найти: а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии; б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. α x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 0.01 3,85 8,87 21,26 6,72 0,29 15,48 7,48 0,33 0,34 1,37 Решение а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу. xi mi mi xi mi xi 2 3,85 1 3,85 14,822 8,87 1 8,87 78,677 21,26 1 21,26 451,987 6,72 1 6,72 45,158 0,29 1 0,29 0,0840 15,48 1 15,48 239,630 7,48 1 7,48 55,950 0,33 1 0,33 0,109 0,34 1 0,34 0,115 1,37 1 1,37 1,877 ∑65,99 10 65,99 888,409 Математическое ожидание: m= = Дисперсия: δ2= = б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности. Определим из таблиц значение , где ; Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания: 0,271<M<12.927 Доверительный интервал для дисперсии имеет вид: Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.