Высшая математика в экономике План Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задача 7 Задание 8 Литература Задание 1 Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице: Наименование составных частей Виды комплектов корпусной мебели 1 2 3 4 Книжный шкаф 1 1 1 1 Шифоньер 1 1 1 1 Пенал 0 0 1 1 Тумба 0 1 0 1 В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице: Вид сырья Составные элементы Кн. шкаф Шифоньер Пенал Тумба Стекло 0,9 0 0,2 1,2 ДСП 6 6,5 6 2,5 ДВП 2,9 1,7 1,4 0,6 Требуется: 1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1 , x2, x3 и x4 штук; 2) провести подсчеты для значений x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4 =80. Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n1 , n2 , n3 и n4 - число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно. Тогда условия будут выглядеть следующим образом: n1 = x1 + x2 n2 = x1 + x2 + x4 n3 = x1 + x2 + x3 n4 = x1 + x2 + x3 + x4 Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1 , y2 и y3 - потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно: y1 = 0,9n1 + 0,2n3 + 1,2n4 y2 = 6n1 + 6,5n2 + 6n3 + 2,5n4 y3 = 2,9n1 + 1,7n2 + 1,4n3 + 0,6n4 Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства. y1 = 0,9· (x1 + x2 ) + 0,2· (x1 + x2 + x3 ) + 1,2· (x1 + x2 + x3 + x4 ) y2 = 6· (x1 + x2 ) + 6,5· (x1 + x2 + x4 ) + 6· (x1 + x2 + x3 ) + 2,5· (x1 + x2 + x3 + x4 ) y3 = 2,9· (x1 + x2 ) + 1,7· (x1 + x2 + x4 ) + 1,4· (x1 + x2 + x3 ) + 0,6· (x1 + x2 + x3 + x4 ) Приведем подобные y1 = 2,3x1 + 2,3x2 + 1,4x3 + 1,2x4, y2 = 21x1 + 21x2 + 8,5x3 + 9x4 y3 = 6,6x1 + 6,6x2 + 2x3 + 2,3x4 Проведем подсчеты для значений x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4 = 80 y1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м. y2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м. y3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м. Задание 2 Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса). , Решение: Составим систему уравнений: Матричное уравнение выглядит следующим образом: A · X = B Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1 A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B Найдем обратную матрицу A-1 Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374 ; X = · = = Решим систему методом Крамера Δ = 374 Δ1 = = 97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 * 4 - 97 * 7 * 13 = 1870 Δ2 = = 4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 - 4 * 7 * 109 = 1496 Δ3 = = 4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 * 109 - 4 * 129 * 13 = 1122 x1 = Δ1/ Δ = 1870/374 = 5, x2 = Δ2/ Δ = 1496/374 = 4 x3 = Δ3/ Δ = 1122/374 = 3 Решим систему методом Гаусса => => => => => Задание 3 Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции: Решение: Задание 4 Задана функция спроса , где p1 , p2 - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми. Решение: Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса: эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый. эластичность отрицательная. Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса. Задание 5 В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы. Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Товарооборот, (тыс. р) 22 4,4 37 57,4 55,4 72 91,6 78,4 58 59 42 37,6 Решение: Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов): По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2 , Sу2 . t y x yx x2 y2 1 22,0 1 22,0 1 484,00 36,688 2 4,4 2 8,8 4 19,36 39,332 3 37,0 3 111,0 9 1369,00 41,976 4 57,4 4 229,6 16 3294,76 44,62 5 55,4 5 277,0 25 3069,16 47,264 6 72,0 6 432,0 36 5184,00 49,908 7 91,6 7 641,2 49 8390,56 52,552 8 78,4 8 627,2 64 6146,56 55, 196 9 58,0 9 522,0 81 3364,00 57,84 10 59,0 10 590,0 100 3481,00 60,484 11 42,0 11 462,0 121 1764,00 63,128 12 37,6 12 451,2 144 1413,76 65,772 Итого 614,8 78 4374 650 37980,16 614,76 ; ; ; ; Уравнение регрессии: = 34,06 + 2,642 · х Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных. Найдем прогноз на полгода вперед: = 34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб. Найдем прогноз на год вперед: = 34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб. Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда. Задание 6 Исследовать на экстремум следующую функцию: ; Решение: Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю). = 2x + y - 4; = 4y + x - 2; ; ; ; ; Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0) = 2 = А, = 1 = B = 4 = C, Δ = AC - B2 = 2 * 4 - 1 = 7 Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум. Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции. Задача 7 Пусть функция полезности задана как где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17. Решение: Полезность максимальна при равенстве первых производных: = ; = ; = ; = Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140 Составим систему. ; ; ; Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в. Задание 8 Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения. и , Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения: D (Q) = S (Q); = ; ; - t2 - 10t + 200 = 0 t1 = - 34,685 и t2 = 12,685, t1 - не удовлетворяет условию =12,685; Q = 160,9 ед. При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед. Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя: Sпотр = - 126,85 · 160,9 = - 20410,165 = = 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед. Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя: Sпроизв = 126,85 · 160,9 - = 20410,165 - = = 20410,165 - 5 * 12,6853 = 10204,5 ден. ед. Литература 1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 3. И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.