Основы теории вероятностей Вариант 2 1. Решите уравнение Решение: По определению . Тогда и уравнение принимает вид откуда получаем . Ответ: . 2. В урне находится 7 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых шара будут белыми. Решение: Изначально в урне 12 шаров и вероятность извлечь первый шар белый составляет . После того как извлечен первый белый шар в урне остается 11 шаров, из них 6 белых, следовательно вероятность извлечь второй белый шар составит . В итоге вероятность совместного появления двух белых шаров равна: Ответ: . 3. В ящике 10 деталей, из которых 4 стандартные. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из изъятых деталей окажется стандартной. Решение: События «хотя бы одна стандартная» и «все детали не стандартные» противоположны и сумма их вероятностей равна 1. Найдем вероятность того, что 3 извлеченных детали не стандартные. Общее число возможных элементарных исходов выбора 3-х деталей из 10 равно числу сочетаний из 10 элементов по 3: , где , тогда Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди 3-х выбранных деталей 3 не стандартных). Три детали из 6 имеющихся можно выбрать способами следовательно, число благоприятствующих исходов . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих нужному событию, к числу всех элементарных исходов: . Тогда искомая вероятность того, что хотя бы одна из изъятых деталей окажется стандартной равна: Ответ: . 4. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекается 3 карандаша. Х – число красных карандашей. Найти закон распределения случайной величины Х, функцию распределения и основные числовые характеристики. Решение: Среди 3-х извлеченных карандашей может быть 0, 1, 2 или 3 красных. Найдем вероятность каждого исхода. 0 красных: 1 красный: 2 красных: 3 красных: Закон распределения принимает вид: Х 0 1 2 3 р Запишем функцию распределения полученной случайной величины Х: Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины находится по формуле: , и подставляя данные получим: Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле: , и, подставляя данные, получим: Среднеквадратичное отклонение: s(Х)= Ответ: ; ; 5. По данной выборке постройте полигон. Найти эмпирическую функцию. Хi 4 7 8 Ni 5 2 3 Решение: Построим полигон частот – ломаную, соединяющую точки с координатами (Хi; Ni). Объем выборки равен N = 5 + 2 + 3 = 10. Найдем относительные частоты и составим эмпирическую функцию распределения: Хi 4 7 8 wi 0,5 0,2 0,3 Ответ: