Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа Выполнил студент 5 курса математического факультета Чупраков Дмитрий Вячеславович _____________________/подпись/ Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов _____________________/подпись/ Рецензент: к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных _____________________/подпись/ Допущена к защите в ГАК Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов (подпись) “__” _________ Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина (подпись) “__” _________ Киров 2005 Содержание Содержание. 2 Введение. 3 Глава 1. 5 1.1. Базовые понятия и факты.. 5 1.2. Простое расширение Q + (a ) 5 1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7 Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел. 9 2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11 2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом. 12 2.4. Примеры.. 20 Литература. 22 Введение Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями. Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей. В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы. Основными результатами работы являются: · Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С . · Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q + (- a 2 ) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида . · Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f - g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q , не содержит отрицательных элементов. Последовательность задается следующим образом: Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями. · Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем. Глава 1. 1.1. Базовые понятия и факты Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем , если (1) <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0; (2) <Р, ×> – группа с 1; (3) Дистрибутивность a. b. (4) Не сложно показать, что Q + является полуполем. Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F , , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F , содержащее множество P и элемент a . Простое расширение P с помощью a обозначается P (a ). 1.2. Простое расширение Q + (a ) Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q + в качестве полутела. Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент s ÎS , что s +s ¹s . Откуда . Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k единиц (при k ÎN ). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m <n . Положим l = n - m ÎN . Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим . Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь для любого t ÎN . По свойству Архимеда, найдется такое t ÎN , что tl >n. При k= tl имеем и n< k . Тогда . Откуда 1=1+1 ( ). Получили противоречие. Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N . Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q + , причем, очевидно, операции в Q + и S согласованы. ■ Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q + . Доказательство. Заметим, что Q + (a ) – полуполе. Кроме того, а Î Q + (a ). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно . Предположим, что есть полуполе P меньшееQ + (a ), содержащее а и Q + . Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q + . ■ Аналогично доказывается следующее утверждение. Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q . 1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F , а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда . Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a . Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h , а ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h , взятых с противоположным знаком. Таким образом, Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что , не имеют подобных членов. Аналогично найдем , что и не имеют подобных членов. Получаем Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то , или , . Найдем значения этих многочленов в точке а . , . Итак, , . То есть, тогда и только тогда, когда . Будем говорить, что Q + (a ) порождается минимальным соотношением . Глава 2. Однопорожденные полуполя 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел Для простого расширения справедливы следующие теоремы. Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения: (1) – поле; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . Доказательство . · (1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a . То . Однако, . Таким образом, . · (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что . Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим и , тогда . По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3). · (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g )(a ) = 0, то h (a ) = 0. · (4)®(5): Пусть , покажем, что . Так как h (a )=0, то . Покажем, что . Рассмотрим . Если b 0 ≠0, то . Если h 0 =0, то . Так как a ≠0, то . Тогда . Итак, . · (5)®(1): Пусть , покажем, что Q + (a ) – поле. Действительно, мы знаем, что Q + (a ) – полуполе. Рассмотрим b ÎQ + (a ), тогда . b + (‑ b )=0. То есть, Q + (a ) – поле. Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■ Доказанный факт влечет следующую теорему. Теорема 2.1.2. Пусть Q + ( a ) простое расширение Q + , a – алгебраический элемент над Q + . Тогда эквивалентны следующие утверждения: (1)Q + ( a ) –полуполе; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5). Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q + (a ) не является полем, а значит Q + (a ) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3), ("h Î Q + [a ],h ≠0) h (a )≠0. То есть, если h (a )=0, то h =0. Пустьh (a )=(x +y )(a )=0. Тогда . Тогда (xi +yi )=0. Так как xi ÎQ + и yi ÎQ + , то xi = yi =0. А значит, x = y =0. Теорема доказана. ■ 2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С . Доказательство. Пусть , и при a > 0. Тогда находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости. Очевидно, существует натуральное n , что лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c < 0, . Значит, и . По теореме 2.1.1, – поле. Очевидно, что . То есть, является полем С . Аналогично рассматривается случай ■ 2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q + (- a 2 ) – поле. Доказательство. По теореме 2.1.1 Q + (ai ) – поле равносильно существованию f ¹0, f (ai )=0. Так как все степени ai Î Q + (ai ). Рассмотрим некоторый многочлен . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю. То есть, Это верно тогда и только тогда, когда Q + (-a 2 ) – поле. Получили, чтоQ + (ai ) – поле тогда и только тогда, когдаQ + (- a 2 ) – поле. ■ Как следствие получаем более ценные утверждения. Следствие 1. Если , то Q + ( ai ) – полуполе тогда и только тогда, когда Q + (- a 2 ) – полуполе. Следствие 2 . Если и Q + (- b 2 ) – полуполе, a Î Q + (- b 2 ), то Q + ( a + bi ) – полуполе. Теорема 2.3.2. Пусть – комплексный корень квадратного трехчлена f ( x ) неприводимого над Q . Тогда – полуполе в том и только том случае, когда f ( x ) имеет положительный действительный корень. Доказательство. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D – дискриминант минимального соотношения. Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b , c ≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то (*) То есть, . Рассмотрим . При получаем многочлен из Q + [x ]. Пусть . Введем обозначения: , , , , , . Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на . Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q + . Докажем, что найдется такие k , что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения . То есть, дискриминант Dl +1 имеет тот же знак, что и Dl . Так как D 0 <0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl <0. Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим . То есть, . Зная, что заметим . Итак, для доказательства нам достаточно установить, что . То есть, . Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство . Тогда . Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что . Используя оценку и деля на положительный элемент , получаем . Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то – поле. ■ Следствие 1. Если – мнимый корень квадратного трехчлена, то ‑ поле. Следствие 2. Любое простое расширение является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени. Доказательство. Заметим, что . Покажем, что для любого a ÎQ найдется такой квадратный многочлен , что - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть, - поле. ■ Рассмотрим последовательность действительных чисел : (**) Будем говорить, что последовательность задается числами p и q . Лемма 2.3.3. Существует n , что . Доказательство. Пусть . Покажем, что последовательность убывающая. , то есть . Пусть , тогда Так как , то Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть - убывающая. Так как - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда . То есть, . Но тогда , , что невозможно для . То есть, . ■ Лемма 2.3.4. Если , то существует , что . Доказательство. Запишем а и bв виде десятичных дробей: , Так как , то существует k , что и . Тогда . Рассмотрим число . То есть, . ■ Теорема 2.3.5. Если и , то . Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть . Если n=1, то . Рассмотрим . То есть, . Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда . Рассмотрим n > 1. Пусть . Покажем, что Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj . То есть, Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий и , то есть, . Обозначим . Так как , то и . Для существования достаточно доказать существование и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4, существует, если и . Эти условия следуют из того, что и . Таким образом, доказано существование ■ Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f - g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q , не содержит отрицательных элементов. Доказательство. Пусть многочлен f - g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность (**), заданная числамиp и q , содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен . так как и . Кроме того , а остальные множители многочлена имеют вид или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■ Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем. Доказательство. Пусть a ' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f (a ' )=0. Но . Значит a ' – не является корнем многочлена f . То есть – полуполе. ■ 2.4. Примеры 1. Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7, - полуполе. Аналогично доказывается, что – полуполе. 2. – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1. 3. Покажем, что – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7, ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, – полуполе. . То есть, – полуполе. 4. , минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен имеет положительный корень, а значит - полуполе. Теперь приведем примеры полей. 5. является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид . 6. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен делит . То есть, – поле. Несложно видеть, что . Итак, . 7. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда – поле. 8. Пусть , если , то – поле. Так как , то Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q . . По теореме 2.3.7, – поле. Литература 1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000 2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20. 3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.