Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел Содержание Введение 3 Основные понятия и определения 4 Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7 §1. Свойства НОД и НОК_ 7 § 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11 Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15 Библиографический список 19 Введение В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах. Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R . Как известно, различные подалгебры множества R + (например, полугруппа N ) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1. Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S R + , обладающих одним из введенных специфических свойств: (*) (a < b ); (**) (0<a < b ). Основные понятия и определения Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х , называемых открытыми , удовлетворяющее условиям: 1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t, 2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t, 3) и ÆÎt. Тогда называется топологическим пространством , t – топологией на Х . Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами . Определение 3. Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х 1 топологию t1 . Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х 1 . Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства. Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R + эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R + Ç (-1, 1). Определение 5. Пространство Х 1 называется плотным подпространством пространства Х , если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х 1 . Очевидно, Х 1 плотно в Х , если каждая точка подпространства Х 1 является предельной точкой множества Х . Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми . Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ. Определение 8. Множество Х 1 в топологическом пространстве Х называется связным , если оно связно как топологическое подпространство пространства Х . Примеры: 1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой. 2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки. Определение 9 . Топологическое пространство называется нульмерным , если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств. Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно. Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу. Определение 10 . Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой , если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. . Определение 11 . Элемент b S называется делителем элемента а S , если для некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит ( | ). Определение 12 . Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД . Определение 13 . Элемент S называется кратным элементу S , если a делится на b . Определение 14 . Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК . Определение 15 . Полугруппа S называется НОД -полугруппой (НОК -полугруппой ), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное). Определение 16 . Элемент из S называется неприводимым , если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если . Определение 17 . Элемент из S называется простым , если . Очевидно, простые элементы неприводимы. Определение 18 . Полугруппа S называется топологической полугруппой , если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е. 1) áS , ×ñ– полугруппа; 2) S – топологическое пространство; 3) полугрупповая операция × непрерывна в S : . Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах §1. Свойства НОД и НОК Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми , или коническими . Элементы и из S называются взаимно простыми , если НОД ( , )=1. Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах. Свойства делимости в целых полугруппах (1) ; (2) – рефлексивность ; (3) – антисимметричность ; (4) – транзитивность ; (5) ; (6) ; (7) Любой простой элемент неприводим ; (8) р неприводим Û ; Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют. Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S . Пусть (a ,b ) и (a ,b ). Тогда из определения НОД следует и . По свойству антисимметричности имеем . Свойство 2. . Доказательство. Импликации и очевидны. Пусть , т.е. для некоторого . Очевидно, b – общий делитель а и b . Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b . Для него существуют такой элемент , что и . Таким образом, с делит b . Это и означает, что . Аналогично доказывается . Следствие 1. . Следствие 2. и . Свойство 3. и . Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости. Свойство 4. . Доказательство. Обозначим d 1 =НОД (НОД (a , b ), c ). Так как d 1 является общим делителем НОД (a , b )иc , то d 1 – общий делитель и для элементов a , b и c . Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД (a , b )иc . Аналогичным свойством обладает и элемент d 2 =НОД (a , (НОД (b , c )). Тогда элементы d 1 и d 2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d 1 =d 2 . Свойство 5. . Доказательство. Обозначим k 1 =НОК (НОК (a , b ), c ). Так как k 1 является общим кратным элементов НОК (a , b )иc , то k 1 – общее кратное и для элементов a , b и c . Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК (a , b )иc . Аналогичным свойством обладает и элемент k 2 =НОК (НОК (a , b ), c ). Тогда элементы k 1 и k 2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k 1 =k 2 . Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1. Доказательство. По условию НОД (a , b )= d ¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b . Свойство 7. = . Доказательство. Обозначим d =НОД (a , b ). По свойству (6) делимости элемент с d делит любой общий делитель элементов ас и b с , следовательно, является их НОД. Свойство доказано. Свойство 8. Если , то . Доказательство. Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов а и b и . Тогда по свойству (6) делимости элемент делит любой общий делитель элементов , следовательно, является их НОД. Свойство доказано. Свойство 9. Если и , то . Доказательство. Пусть НОД и НОД (а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а . Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а , что и означает, что . Свойство 10. Если , то для любых N . Доказательство. Докажем, что методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что для всех k < m . Покажем, что при k = m. по свойству (10) для с = b . Отсюда, для всех N . по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем для любого N . Следовательно, . Свойство 11. Если , то для любого . Доказательство. Пусть , тогда а = sd и c = td для некоторых s,t S таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку , то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно, . Свойство доказано. Свойство 12. Существование НОК (a , b ) влечет существование НОД (a , b ) и равенство НОД (a , b ) НОК (a , b ) = ab . Доказательство. Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то и равенство справедливо. Пусть элементы и ненулевые и . Поскольку - общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то - общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий делитель элементов и . Пусть - произвольный общий делитель чисел и , т.е. и для некоторых . Поскольку - общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД ( ). Предложение 1 . Полугруппа является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда есть НОД-полугруппа. Доказательство . По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные . Если хотя бы одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным элементов и . Осталось показать, что на делится любое общее кратное и . Возьмем произвольное общее кратное элементов и , т. е. для некоторых . Тогда , т.е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т.е. . § 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R + и мультипликативную полугруппуS R + , содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой. Лемма 1 . Если S связно, то S = или S = R + . Доказательство. Пусть S связное множество в R + . Тогда S является промежутком. Поскольку и , то . Если в S нет элемента c > 1, то . В противном случае числа ( N ) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то для всех N . Отсюда R + . Лемма 2. Если несвязно, то . Доказательство. Предположим, что .Тогда в силу несвязности существуют такие числа , что и . Так как , то . Тогда . Полученное противоречие завершает доказательство. Лемма 3. Если , то или =R + . Доказательство. Очевидно, - полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана. Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда: 1) (0,с ) S для любого , 2) если , то и для любого . Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S , то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS ¹Æ.Предположим, что (0,c ) S для некоторого . Не теряя общности, будем считать, что . Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s [0, 1]\S . Возьмем в S ненулевой элемент и положим b =as S . Пусть d =НОД (a , b ). Поскольку 0<s <1, то sn 0 при n . Тогда sN < c для некоторого натурального N , и, значит, sN S . По свойству 8, пункт (3), НОД (a / d , b / d )=1. Поскольку b / d :a / d =s S , то элемент a / d необратим в S . Очевидно, необратимым является и (a / d )N . По свойству 11, пункт (5), имеем НОД ((a / d )N , (b / d )N )=1. Из (b / d )N :((a / d )N =sN S следует, что НОД ((a / d )N , (b / d )N )=(a / d )N . Значит, элемент (a / d )N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с ) S для любого . 2) Если , то заключение справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3 существует s . Предположим, что для некоторого с >1. Возьмем в S элемент и положим b =as S . Поскольку s > 1, то sn +¥ при n . Следовательно, sN >c для некоторого натурального N , и, значит, sN S . Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: для любого . Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и , то S нульмерно. Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале , где , есть точки, не принадлежащие S . Доказывая от противного, предположим, что [a ,b ] S для некоторых . Возможны два случая. Случай 1. Пусть 0<a < . Докажем, что найдется n 0 N , для которого a b . В самом деле, допуская, что b < a для всех n N и, переходя в неравенстве b < a к пределу при n , получили бы b a < b . Откуда b > a для всех натуральных n > n 0 . Тогда что невозможно по лемме 4. Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с > a , чтобы 1<c <b . Рассуждая, как и в случае 1, получаем c b для некоторого n 0 N . Тогда что также невозможно по лемме 4. Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и . Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U , что . Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a иb , что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U . Пусть левее s в интервале нет точек множества S , а правее – есть, и точка с - одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U . Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S , а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из S и справа и слева от s . Предложение доказано. С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп. Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов: 1. S связно. 2. S нульмерно, замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S . 3. S нульмерно, не замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S . 4. Точка 0 изолирована в S. Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то для любого N и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS , множество при этом может быть как замкнутым в R + , так и не замкнутым. Предложение доказано. Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S , которые обладают одним из следующих свойств: (*) (a < b ); (**) (0<a < b ). Лемма 8. Полугруппа S , удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД (a ,b )= max {a ,b }, НОК (a ,b )= min {a ,b } для любых a , b S , а во втором случае – НОД (a ,b )= min {a ,b }, НОК (a ,b )= max {a ,b }, если числа и не равны нулю. Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента имеют НОД и НОК. По свойству (*) a = и S . Получили, что элемент b является делителем a . Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a ,b ) = b = max{a ,b } и НОК(a ,b ) = а = min{a ,b }. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a ,b )= min{a ,b }, НОК(a ,b )= max{a ,b }. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a ,b ) = НОД(а,0) = а и НОК(a ,b ) = НОК(а,0) = а. Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (* ) существует элемент c > 1, то S \ {0 } – группа. Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acn > 1 для некоторого n N . Тогда 1 / acn S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acn ) cn S . Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (* ) относится к одному из следующих классов: 1. S = [0,1]. 2. S = R + . 3. S = {rn | n = 0,1,2,…} , где 0 < . 4. S = {rn | n Z } , где 0 < . 5. S – нульмерное плотное подпространство в [0,1]. 6. S – нульмерное плотное подпространство в R + . 7. S = {0,1}. Доказательство. Если связно, S = или S = R + по лемме 1. Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+ ) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R + ). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S . Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е n ), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d , что (c ,d ) = по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (en ,d ) элементов из S сходится к числу d . Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N . По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S имеем 0,1,2,… , а в противном случае Z по лемме 9. Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0 а n S , сходящаяся к некоторому а S . Пусть bn = an / an +1 , если (an ) возрастает, и bn = an +1 / an , если она убывает. Тогда bn S ( N ) и bn 1 при . Возьмем произвольное число с (0,1). Для каждого N найдется такое k (n ) N , что . Тогда имеем и . Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S , то получаем случай 5. Если же S , то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано. Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов: 1. S = R + . 2. S = {rn | n ÎN } , где . 3. S = {rn | n Z } , где . 4. S \{0} – нульмерное плотное подпространство в [1, ). 5. S – нульмерное плотное подпространство в R + . 6. S = {0,1}. 7. È[1,+¥). Доказательство. Пусть связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S = R + . Очевидно, является полугруппой со свойством (**). Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2. Пусть замкнуто и Æ. Если в нет элемента, большего 1, то . Пусть (1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в существует строго убывающая последовательность, сходящаяся к 1. Так как замкнуто и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы , что . В то же время строго убывающая последовательность элементов из сходится к числу , следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал . Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда и поскольку замкнуто, то . Возьмем произвольный элемент из . Для него при некотором N . По свойству (**) получаем и . Поскольку , то . В этом случае N . Пусть замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства по доказанному выше получаем: для некоторого натурального N . Поскольку , то . В этом случае Z . Пусть не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел , сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность элементов убывает, и , если она возрастает. Тогда для всех N и при . Возьмем произвольное число . Для каждого N найдется такое N , что . Тогда имеем и . Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4). Если не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что S – плотное подпространство в R + . Следствие 1. Любая полугруппа S , обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов: 1. S = R + . 2. S – нульмерное плотное подпространство в R + . 3. S = {0,1}. Библиографический список 1. Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С 493-510.