Функции и их производные № 4 ВАРИАНТ 4.3 № 1. а) Найти производные от данных функций: б) Применяем правило нахождения производной произведения функций в) № 2 Дана функция Найти: а) координаты вектора gradu в точке А (-1,3,2) По определению: б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3} По определению: Величины найдены в п.а) Найдем cosб, cosв, cosг. По формуле получаем: № 3. Дана функция . Найти y”. Вычислить y”(-1). № 4. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать. №5 Найти если Вычислить если . Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически № 6. Функции задана неявно уравнением Вычислить: а) Вычисления проводим по формуле б) № 7. На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А. Из геометрического смысла производной имеем № 8. Найти dy, если у=х6 . Вычислить значение dy, если Для имеем № 9. Дана функция и точки и Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно Дифференциал функции dz равен № 10. Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем Приравниваем числитель к нулю при условии Решение отбрасываем. совпадает с граничным значением. Найдем значение функции в точках x=0 и x=6. Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3. № 11 Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми . Найдем стационарные точки из системы уравнений Решаем систему уравнений Сделаем чертеж На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17. На участке у=-1 получаем Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Находим На участке границы у=1-х получаем функцию Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2]. На границах отрезка Сравниваем все найденные значения функции видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0). Ответ: 23;4. № 12. Провести полное исследование функции и начертить ее график. 1. Найдем область определения функции . Функция непериодична. 2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет. 3. Определим «поведение функции в бесконечности» 4. Точка разрыва х=-2 5. найдем пересечение кривой с осями координат т.А (0;2) Корней нет, нет пересечения с осью OY. 6. Найдем точки максимума и минимума в точке производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум. При первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при производная положительна, функция в этих промежутках возрастает. 7. Найдем точки перегиба , точек перегиба нет. При вогнутость вверх, при , вогнутость вниз. 8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где Получили асимптоту у=х. Найдем пересечение кривой с асимптотой Точек пересечения нет. Строим график