Теория вероятностей и математическая статистика Министерство высшего образования Украины Национальный Технический Университет Украины “Киевский политехнический институт” Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления К о н т р о л ь н а я р а б о т а по дисциплине : “ Теория вероятностей и математическая статистика” Вариант № 24 Выполнил студент гр. ЗІС - 91 ІІI курса факультета ФИВТ Луцько Виктор Степанович 2009г. Задача 1 Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в) произведение числа очков делится на N. Исходные данные: N=18. Решение задачи: Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием. Р(А) = m n где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания; m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А. а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N: n = 36;m = 36 Р(А) = 36 = 1 ; 36 б) при произведении числа очков, не превосходящих N: n = 28;m = 36 Р(А) = 28 = 7 » 0,778 ; 36 9 в) при произведении числа очков, делящихся на N: n = 3;m = 36 Р(А) = 3 = 1 » 0,083 . 36 12 Ответы: а) Р(А) = 1 ; б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ; в) Р(А) = 1/12 » 0,083. Задача 2 Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2 , т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно . Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1. Решение задачи. 1) Определяем количество способов нужной комбинации: С¢ = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ; 2) Определяем количество всех возможных способов: С¢¢ = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ; 3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи: Р = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 = 3 х 1 х 4 х 5 х 6 х 2 = 2 х 3 С12 7 8 х 9 х 10 х 11 х 12 2 х 3 х 4 х 5 = 3 х 5 = 5 » 0,15 9 х 11 33 Ответ: Р = 5/33 » 0,15 . Задача 3 Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных. Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4. Решение задачи. k=4 n=8 Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда: Р(А) = С k l x С n-k m-l = С4 3 x С8-4 5-3 = 3 » 0, 4286 . С n m С8 5 7 Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 . Задача 7 В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2 . Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6. Решение задачи S1 R P(A) = S . S2 p R2 P(A1 ) = S1 = 2,6 » 0,0042246 ; pR2 3,14 x 142 P(A2 ) = S2 = 5,6 » 0,0090991 ; pR2 3,14 x 142 P(A) = S1 + S2 = 2,6 + 5,6 = 8,2 » 0,013324 . pR2 3,14 x 142 615,44 Ответ: Р(А) » 0,013324 . Задача 8 В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное? Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37. Решение задачи События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение: Р(А/В) = Р(А) / Р(В) . Для любых событий А и В имеет место формула: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) . Обозначения: Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1 ) ; Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2 ) . События А и В – независимые. а)Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1 ) + (1 – k2 ) – (1 – k1 )(1 – k2 ) = = 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 . б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1 )(1 – k2 ) = 0,19 х 0,63 » 0,12 . в)Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1 )k2 + (1 – k2 )k1 = = 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 . Ответы: а) » 0,70; б)» 0,12; в)» 0,58. Задача 9 Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым —р2 . Первый сделал n1 , второй — n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена. Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2. Решение задачи. Обозначения: А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1 ) ; В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2 ) ; Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний. Р = (1 – р1 )n1 x (1 – р2 )n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2 = 0,673 x 0,482 » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 . Ответ:» 0,07 . Задача 12 Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная. Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440. Решение задачи Рассмотрим три гипотезы: Н1 – выбор лампы из первой партии; Н2 – выбор лампы из второй партии; Н3 – выбор лампы из третьей партии; а также событие А – выбор бракованной лампы. Учитывая то, что Н1 , Н2 , Н3 – полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности): 3 Р(А) = å P(Hi ) x P(A/Hi ) . i=1 Тогда: P(H1 ) = 350/1000 = 7/20 ; P(H2 ) = 440/1000 = 11/25 ; P(H3 ) = 210/1000 = 21/100 . Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 . Ответ: Р(А) = 0,0514 . Задача 18 На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2 . — мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких. Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35. Решение задачи Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і): Pn (m1 ,m2 ,…,mk ) = n! p1 m 1 p2 m 2 … pk m k . m1 ! m2 !…mk ! В задаче: А1 – билет оказался с крупным выигрышем; А2 – билет оказался с мелким выигрышем; А3 – билет оказался без выигрыша. Р14 (5,4,5) = 14! х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 = 6х7х8х9х10х11х12х13х14 х 5! 4! 5! 2х3х4х2х3х4х5 х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х х 0,01024 » 0,0378. Ответ: Р » 0,0378 . Задача 19 Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев». Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01. Решение задачи q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 . Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона: Рn (m) » a m e-a , a = np . m! Подсчет вручную дает следующие результаты: Рn (m) » 59 х 1 » 58 х 1 » 2х3х4х5х6х7х8х9 е5 2х3х4х6х7х8х9 2,75 » 390625 » 390625 » 0,03751 . 72576 х 143,5 10 413 862 Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где Рn (m) » 0,03627 . Ответ: Рn (m) » 0,03627 . Задача 20 Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству. Варианты 22—31: Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40. Решение задачи Вероятность Рn (m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли: Pn (m) = Cn m pm qn-m , m = 0,1,2,…,n(1) где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании. Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей. При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы: (2) где: (3) где: (4) (5) (6) Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)]. З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими. З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение). В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое. npq = 21, следовательно npq > 9. При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 . Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3). Тогда: k2 – np » 40 – 30 » 10 » 2,18 . Ö npq 4,58 4,58 k1 – np » 0 – 30 » -30 » - 6,55 . Ö npq 4,58 4,58 Pn (m£k2 ) » Ф(х2 ) – Ф(х1 ) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) » » 0,48537 + 0,5 » 0,98537 . Ответ: Pn (m£ 40) » 0,98537 . Задача 21 Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1 < x < х2 Варианты 17-24: Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1. Решение. Р(х) = í g , х Î [-1,5, 1], 0, x Ï [-1,5, 1]. Найдем g. Должно выполняться соотношение:Fx (+¥) = 1; òp(x)dx = 1; òg dx = 1; g x 1 = 1; g *(1+1,5) = 1; g = 1 =2/5 . -1,5 2,5 -¥ -1,5 1 Найдем : М x = òх2/5 dx = 2 х2 1 = 1/5 (1-2,25) = -1,25 = -0,25 . 5 2 -1,5 5 -1,5 1 Найдем : Dx = М x 2 – ( М x )2 = ò2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5 x3 1 - 0,0625 = 3 -1,5 -1,5 = 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 . í 0 , x < -1,5; x x Найдем : Fx (x) = òp(х) dx = òg dt , -1,5 £ x < 1; -¥ -1,5 1 , x ³ 1 . x x òg dt = g t = g x + 1,5g = 2/5x + 0,6 . -1,5 -1,5 Найдем :P{-1<x<1} = Fx (1) - Fx (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 . Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5. Список использованной литературы 1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с. 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с. 3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с. 4. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.