Сетевые модели Задание 1 Районной администрацией принято решение о газификации одного из сёл района, имеющего 25 жилых домов. Разработать такой план газификации села, чтобы общая длинна трубопроводов была наименьшей. Проанализировать решение задачи на единственность. В случае не единственности решения найти все решения и доказать, что других нет. Выберем наикротчайшие пути между узлами. Из расчёта моего варианта, по условию задачи, газификацию в селе нужно начинать с дома под номером 20. А24=40 переходим к дому (12). А23=90 переходим к дому (18) А27=60 переходим к дому (17). А28=40 переходим к дому (13) А34=70 переходим к дому (22). А38=70 переходим к дому (21) А39=90 переходим к дому (25). А20=100 переходим к дому (19) А29=160 переходим к дому (16). А45=110 переходим к дому (14) А14=30 переходим к дому (9). А16=30 переходим к дому (10) А13=100 переходим к дому (8). А43=100 переходим к дому (7) А15=30 переходим к дому (15). А12=80 переходим к дому (2) А2=80 переходим к дому (3). А5=120 переходим к дому (4) А7=60 переходим к дому (5). А4=100 переходим к дому (1) А19=180 переходим к дому (11). А42=210 переходим к дому (24) А32=410 переходим к дому (23). А11=220 переходим к дому (6) Находим общую протяжённость трубопровода: 40+90+60+40+70+70+90+100+160+110+30+30+100+100+30+80+80+120+60+100+180+210+410+220 = 2610 метров. На рисунке показан самый экономичный вариант газификации села начиная с дома №20. Задание 2 Транспортному предприятию требуется перевезти груз из одно пункта в другой. Нужно определить маршрут доставки груза, которому соответствуют наименьшие затраты. Из расчёта моего варианта, по условию задачи, доставить груз нужно из пункта 20 в пункт 1. Ограничим транспортную сеть до пунктов, стоимость перевозки которых к пункту назначения, наиболее дешевая. В результате получим сеть: Введем обозначения: а k – стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами; Uj – наиболее дешевая перевозка между узлами i и j , U18 = 0. Формула для вычисления Uj : Из формулы следует, что наиболее дешевую перевозку Uj до узла j можно вычислить лишь после того, как определена наиболее дешевая перевозка до каждого предыдущего узла i , соединенного дугой с узлом j . Процедура завершается, когда получено Ui последнего звена. Начнем определять наименьшие затраты с пунктов, стоимость перевозки к которым, от исходного пункта, наиболее дешевая. 1.U20 = 0; 2. U12 = U20 +ак = 0 + 40 = 40; 3. U19 = U20 + ак = 0 + 170 = 170; 4. U12 = min {U20 + a24 ; U19 + a20 } = min {40; 270} = 40; 5. U19 = min {U20 + a25 ; U12 + a20 } = min {170; 140} = 140; 6. U10 = U12 +а21 = 40 + 440 = 480; 7. U11 = U19 + а19 = 140 + 180 = 320; 8. U11 = min {U19 + a19 ; U10 + a18 } = min {320; 830} = 320; 9. U10 = min {U12 + a21 ; U11 + a18 } = min {480; 670} = 480; 10. U5 = U10 +а9 = 480 + 150 = 630; 11. U4 = U11 + а17 = 320 + 530 = 850; 12. U4 = min {U11 + a17 ; U5 + a7 } = min {850; 690} = 690; 13. U5 = min {U10 + a9 ; U4 + a7 } = min {630; 750} = 630; 14. U3 = min {U5 + a6 ; U4 + a5 } = min {990; 810} = 810; 15. U1 = min {U4 + a4 ; U3 + a3 } = min {790; 1040} = 790. Таким образом из расчетов видно, что минимальные затраты перевозки груза между узлами 20 и 1 равны 790, а соответствующий маршрут c наименьшими затратами будет: 20 – 12 – 10 – 5 – 4 – 1 + 40+440+150+60+100 = 790 Задание 3 Предприятие решило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентно способной продукции. Ожидается, что производительность после новой линии составит 20 т продукции в смену. Прибыль от реализации 1 т продукции составит 0,5 тыс. руб. в смену. Деньги на покупку и переоборудование участка в размере 2 млн. руб. взяты в банке под 20% годовых из расчёта 1,5 млн. руб. на закупку оборудования и 0,5 млн. руб. на работы по демонтажу старого оборудования и установку нового оборудования. Определить, через какое время может быть возвращён кредит в банк. Затраты на проведение работ в нормальном и максимальном режимах указаны в таблице. Работа Нормальный режим Максимальный режим Продолжительность дн. Затраты Продолжительность дн. Затраты 1 2 3 4 5 6 7 40 50 50 70 80 40 30 20 30 30 70 70 20 20 35 35 40 50 65 35 17 30 50 40 100 80 25 25 1. Составим график проведения работ по пуску новой линии. На переоборудование цеха необходимо: 40+50+50+70+80+40+30 = 360 дней. 2. График можно улучшить, выполняя некоторые работы параллельно. Получим график: На этом графике обозначены работы: (0;1) - подготовка технического задания; (1;2) - заказ и поставка нового оборудования; (1;3) – заказ и поставка нового электрооборудования; (2;4) – установка нового оборудования; (3;4) – установка нового электрооборудования; (1;4) – переобучение персонала; (4;5) – сдача в эксплуатацию новой линии. По графику, путь (0;1), (1;2), (2;4), (4;5) имеет продолжительность: 40+50+70+30 = 190 дней. По графику, путь (0;1), (1;3), (3;4), (4;5) имеет продолжительность: 40+50+80+30 = 200 дней. По графику, путь (0;1), (1;4), (4;5) имеет продолжительность: 40+40+30 = 110 дней. Критическим путём графика является путь, на котором находятся работы: (0;1), (1;3), (3;4), (4;5). График улучшается на 360 – 200 = 160 дней. Определим, через какое время после начала выпуска продукции возвращаем кредит в банк. Через 200 дней после начала работ предприятие истратит 1500 т. руб. на приобретение оборудования и 265 т. руб. на его установку и сдачу в эксплуатацию. В наличии у предприятия останется: 2000-1500-260 = 240 т. руб. от кредита. Построим график изменения кредита в зависимости от времени получения прибыли предприятия от выпуска продукции. С (200;240) D (300;1240) А (0;2000) В (360;2400). Для построения графика изменения кредита в зависимости от времени, составим уравнение. Через 360 дней после выдачи банком кредита под 20% годовых, долг предприятия составит 2400 т. руб. Поэтому известны две точки этой прямой: А (0;2000) В (360;2400). Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки: (у – уА ) / (уВ – уА) = (х – хА) / (хВ – хА ), (у – 2000) / (2400 – 2000) = (х – 0) / (360 – 0). Решая уравнение получим: (у – 2000) / 400 = х) / 360; 400х = 360 (у – 2000); 400х – 360у + 720000 = 0/ 40; 10х – 9у + 18000 = 0. Найдём уравнение прибыли предприятия. Известно, что через 200 дней после начала работ у предприятия осталось от кредита 240 т. руб. Через 100 дней после начала выпуска продукции предприятие получит прибыль: 0,5 т.р. *20 тонн *100 дней = 1000 т. руб. У предприятия будет в наличии: 1000+240 = 1240 т. руб. Таким образом, для нахождения уравнения прибыли имеем две точки: С (200;240) D (300;1240). (у – уС ) / (уD – уC ) = (х – хC ) / (хD – хC ); (у – 240) / (1240 – 240) = (х – 200) / (300– 200); (у – 240) / 1000 = (х – 200) / 100; 1000 (х – 200) = 100 (у – 240) ; 1000х – 200000 = 100у – 24000; 1000х – 100у – 176000 = 0 /: 100; 10х – у – 1760 = 0. Определим время, когда кредит может быть возвращён в банк. Для этого составим систему уравнений: 10х – 9у + 18000 = 0 10х – у – 1760 = 0 - 8у + 19760 = 0 10х – 2470 – 1760 = 0 -8у = 19760 10х = 4230 у = 2470 т.р. х = 423 день. 3. График выполнения работ может быть сжат за счёт выполнения некоторых операций в максимально интенсивном режиме. Учитывая наклоны кривой, производим сжатие операций (0;1),(2;4),(3;4), (4;5), получим сетевой график. Новый график имеет пути: (0;1), (1;2), (2;4), (4;5) – 152 дня; (0;1), (1;3), (3;4), (4;5) – 152 дня; (0;1), (1;4), (4;5) – 92 дня. Таким образом, критический путь сокращён с 200 до 152 дней, а это значит, что предприятие начнёт производить продукцию через 152 дня после начала работ. Определим, сколько предприятию придётся заплатить за уменьшение критического пути: (0,1) 30 – 20 = 10 т.р. (3,4) 80 – 70 = 10 т.р. (1,2) 50 – 30 = 20 т.р. (4,5) 25 – 20 = 5 т.р. (2,4) 100 – 70 = 30 т.р. Таким образом, сжатие работ обойдётся предприятию в: 10 + 20 + 30 + 10 + 5 = 75 т. руб. График изменения кредита в зависимости от времени определяет уравнение: 10х – 9у + 18000 = 0. Найдём уравнение прибыли. Через 152 дня после начала работ у предприятия осталось от кредита: 2000 – 1500 – 260 – 75 = 155 т. руб. Через 100 дней после начала выпуска продукции предприятие получит прибыль: 20 т. руб. * 0,5 т. руб. * 100 дн. = 1000 тыс. руб., и у него будет в наличии 1000 + 155 = 1155 т. руб. Таким образом, для нахождения уравнения прибыли предприятия имеем две точки: С (152;155) D(252;1155). Согласно уравнению прямой, проходящей через 2 точки, получим: (у – уС ) / (уD – уC ) = (х – хC ) / (хD – хC ), (у – 155) / (1155 – 155) = (х – 152) / (252– 152); (у – 155) / 1000 = (х – 152) / 100; 1000 (х – 152) = 100 (у – 155) ; 1000х – 152000 = 100у – 15500 /: 100. Составляем систему уравнений: 10х – у – 1365 = 0 у = 10х – 1365; 10х – 9у + 18000 = 0 10х - 9 (10х – 1365) + 18000 = 0; 10х – 90х + 12285 + 18000 = 0. -80х + 30285 = 0; -80х = 30285 у = 3780-1365; х = 378 дней у = 2415 т. руб. Таким образом, через 378 дней предприятие может вернуть кредит в банк. По сравнению с предыдущим случаем предприятие вернёт в банк деньги раньше на 423–378 = 45 дней. При нормальном режиме работ критический путь составляет 200 дней, стоимость работ 260 т. руб. При максимальном режиме критический путь уменьшится до 152 дней, минимальная стоимость работ составит: 260 + 75 = 335 т. руб.