Решение экономических задач Задание 1 Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице: Наименование составных частей Виды наборов 1 2 3 4 Шар 5 6 8 10 Колокольчик 3 4 6 0 Мишура 0 3 5 8 В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице Вид сырья Составные элементы Шар Колокольчик Мишура Стекло 5 0 0 Папье-маше 0 4 0 Фольга 3 0 75 Требуется: 1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1 , x2, x3 и x4 штук; 2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4 =200. Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1 , n2 и n3 - число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно. Тогда условия будут выглядеть следующим образом: n1 = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 n2 = 3x1 + 4x2 + 6x3 n3 = 3x2 + 5x3 + 8x4 Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1 , y2 и y3 - потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно: y1 = 5n1 y2 = 4n2 y3 = 3n1 + 75n3 Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства. y1 = 5· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 ) = 25x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4 y2 = 4· (3x1 + 4x2 + 6x3 ) = 12x1 + 16x2 + 24x3 y3 = 3· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 ) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4 ) = 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4 Проведем подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4 =200. y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г. y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г. y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г. Задание 2 Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса). , Решение: Составим систему уравнений: Матричное уравнение выглядит следующим образом: A · X = B Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1 A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B Найдем обратную матрицу A-1 Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017 ; = X = · = = Решим систему методом Крамера Δ = - 1017 Δ1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153 Δ2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119 Δ3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187 x1 = Δ1/ Δ = - 9153/ (- 1017) = 9 x2 = Δ2/ Δ = - 7119/ (- 1017) = 7 x3 = Δ3/ Δ = - 11187/ (- 1017) = 11 Решим систему методом Гаусса => => => => => = > Задание 3 Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции: Решение: Задание 4 Задана функция спроса , где p1 , p2 - цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми. Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса: эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый. эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный. Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса. Задание 5 В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы. Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Товарооборот, (тыс. р) 18 5,6 30,5 59,3 59,3 42 96,4 72,6 56,8 52 38,6 33 Решение: Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов): По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2 , Sу2 . t y x yx x2 y2 1 18,0 1 18 1 324,00 33,662 2 5,6 2 11,2 4 31,36 36,089 3 30,5 3 91,5 9 930,25 38,516 4 59,3 4 237,2 16 3516,49 40,943 5 59,3 5 296,5 25 3516,49 43,37 6 42,0 6 252 36 1764,00 45,797 7 96,4 7 674,8 49 9292,96 48,224 8 72,6 8 580,8 64 5270,76 50,651 9 56,8 9 511,2 81 3226,24 53,078 10 52,0 10 520 100 2704,00 55,505 11 38,6 11 424,6 121 1489,96 57,932 12 33,0 12 396 144 1089,00 60,359 Итого 564,1 78 4013,8 650 33155,51 564,13 ; ; ; ; Уравнение регрессии: = 31,235 + 2,427 · х Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных. Найдем прогноз на полгода вперед: = 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб. Найдем прогноз на год вперед: = 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб. Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда. Задание 6 Исследовать на экстремум следующую функцию: ; Решение: Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов. = 4x3 + 2xy2 ; 4x3 + 2xy2 = 0; 2x (2x2 + y2 ); 2x = 0 или (2x2 + y2 ) = 0; точка (0, 0) = 4y3 + 2x2 y; 4y3 + 2x2 y = 0; 2y (x2 + 2y2 ); 2y = 0 или (x2 + 2y2 ) = 0; точка (0, 0) Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0) = 12x2 + 2y2 ; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = А = 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B = 12y2 + 2x2 ; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = C Δ = AC - B2 = 0 Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым. Точка (0; 0) возможный экстремум функции. Задача 7 Пусть функция полезности задана как где x и y- количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37. Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных: = ; = ; = ; = Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140 Составим систему. ; ; ; Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в. Задание 8 Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения. и , Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения: D (Q) = S (Q); = ; ; - t2 - 6t + 300 = 0 t1 = - 25,12 и t2 = 16,72, t1 - не удовлетворяет условию ; Q = 279,56 ед. При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед. Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя: Sпотр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 = = 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7 Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя: Sпроизв = 100,32 · 279,56 - = 28045,46 - = = 28045,46 - 4 * 16,723 = 9348,6 Литература 1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 3. И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998. 4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.