Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах. Демидов Р.А. ,ФТФ, 2105 Введение Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида . Этот метод был предложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах. В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики. 1. Метод 1.1 Случай бесконечного промежутка Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида (1) - это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует ,если выполняются 2 условия: , а также условие сходимости нормы u(x): . Эти условия работают при действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения – один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты. Итак,первый .Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x). Вспомнив,что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образ свертки есть свертка образов”. Тогда для функций U(k),V(k),F(k) – образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение: (2) Данное свойство образа свертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1) на и интегрированием по всей действительной оси: Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем , что и требовалось доказать. Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u(x). Выражая его через образы ядра и f(x),производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения: => => (3) Второй способ: вычисляем резольвенту уравнения как (4) В виде Фурье - образов это равенство выглядит так: , где G(k) вычисляется как (5) V(k) – Фурье-образ исходного ядра v(x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x),применив обратное преобразование Фурье к (5),и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F(k) при смене функции f,она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее. На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком – и опишем метод Винера-Хопфа. 1.2 Полубесконечный промежуток Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска – f+ (x) и f- (x), (f(x)= f+ (x) + f- (x) )представляющих собой правый и левый концы следующим образом: выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так: f+ : , при причем здесь - комплексная переменная, и выполняется неравенство Im(k)=τ > τ- . Причем Обратное преобразование выглядит так: , и здесь мы интегрируем по любой прямой Im(k)=τ > τ- . f- : При для прямого преобразования Фурье имеем , к здесь та же к.п. ,это верно в области с Im(k)=τ < τ+ . Обратное преобразование для f- выглядит аналогично: Интегрирование идет по той же прямой с Im(k)=τ < τ+ При τ- < τ+ образ F(k) задаётся уравнением как раз в полосе τ- < Im(τ) < τ+ . При τ- < 0,τ+ > 0 функция полоса Im(τ)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть τ нулем. Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6) (6) Разложим неизвестную функцию u(x) на составляющие u+ , u- : При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям: , µ<τ+ . При их выполнении в полосе µ < Im(k) < τ+ функции u+ ,u- являются аналитическими. Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1,мы имеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выбора функций u+ ,u- . Итак, получаем: , что видно из представления u(x)= u+ (x)+u- (x), U(k)=U+ (k)+U- (k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что , если так задать функцию L(k). Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от §1,неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k) можем представить как частное функций L+ (k),L- (k),уравнение принимает при этом вид , и известно следующее – “плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области , “минусовая” часть аналитическая функция в области ,µ <τ+ , а значит, в полосе (которая непуста )существует единственная общая функция U(k), совпадающая с U+ ,U- в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L+ ,L- растут не быстрее степенной функции kn , то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену Pn (k) (это получается, если учесть стремление U+ ,U- к нулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так: Если степень роста функций L есть единица(растут не быстрее линейной функции),то мы имеем для кусков функции L(k) следующее: , и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C.Приведу пример последнего случая с n=0. Пример. - интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой f для простоты. Решим его м.В.-Х. Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp(-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L(k): - является аналитической в области -1 < Im(k) < 1. Разложим ее как частное двух так: При 0 < λ < 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im(k) < 1, при λ > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im(k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L+ (k),L- (k). Далее – обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе – это константа, полином нулевой степени, иначе не выполняется условие сходимости произведения L+ U+ ,L- U- .Значит , и, применяя обратное преобразование Фурье, находим u+ (x): , что верно для Решение в квадратурах найдено, этот интеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим: Как видим, решение получено с точностью до константы. 1.3 В общем виде Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение и поставим задачу: найти функции Ψ1 , Ψ2 ,удовлетворяющие нашему уравнению в полосе ,стремящихся к нулю при .A,B,C – аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L+ ,L- , , причем L+ аналитическая в области Im(k) > τ- , L- аналитическая в области Im(k) < τ+ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем: Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ,на два, как , что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем: - это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L+ L- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ1 , Ψ2 , мы получаем следующие соотношения: Рn (k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1 , Ψ2. Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями. Лемма1 : Пусть образ F(k) аналитический в полосе ,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как ,F+ (k) аналитическая в Im(k)>τ- , F- (k) аналитическая в Im(k)<τ+ . Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k0 ) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A ->∞,и устремим контур к полосе. Тогда в пределе получаем , где эти части есть Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F+ (k),F- (k) в рассматриваемой полосе. Лемма2: Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе ,причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда ,где функции Ф+ ,Ф- соответственно аналитические в и Доказательство: Заметим, что для функции выполнены условия леммы1,значит,мы имеем право ее представить суммой F+ , F- , а Ф – произведением: ,Ф=Ф+ *Ф- . Условия на границы по мнимой оси для функций Ф+ ,Ф- сохранятся => лемма доказана. Теперь сделаем еще одно обобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения (7) Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u(x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля в полосе мы можем переходить к образам функций и мы получим предварительно разбив F на две. Принимая за функцию L(x) ф-ю , аналитическую в стандартной полосе и равномерно стремящуюся к 1 при наше алгебраическое уравнение перепишется как Далее, точно также разделяем L на две части как , И L+ - аналитическая в , L- - аналитическая в . По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U+ ,U- : При успешном разложении последнего члена как , где по все той же аналогии D+ и D- аналитические в областях соответственно, мы записываем решения в виде . При этом мы воспользовались той же сходимостью – L+ ,L- растут не быстрее чем kn , а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе. Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно. Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – в краевых задачах математической физики. 2. Применение метода Винера-Хопфа До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных. Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям: Для этого решим к. задачу на уравнении , ,и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа. Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение: , где f(k) - произвольная функция комплексного параметра k, Для удовлетворения функции u граничным условиям должны выполняться 2 условия на f(очевидно из представления u): Решение строится, если L(k) аналитическая в полосе τ- < Im(k) < τ+ ,если при этом τ- < 0, τ+ > 0. Тогда , где L+ аналитическая в верхней полуплоскости τ- < Im(k), L- аналитическая в нижней п.п Im(k) < τ+ .Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения , где константа определяется как Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем и , что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию: вычисляя интеграл, получаем Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату: - если вводим вспомогательную функцию так, то ,z=x+iy. Получили ответ задачи. Вывод В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений ,и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений. В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0,и получали гармоническое уравнение. В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения. Список использованной литературы 1. Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.” 2. Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”