Кривые второго порядка. Квадратичные формы Высшая математика Кривые второго порядка Квадратичные формы Содержание 1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи 2. Знакоопределенность квадратичных форм 3. Критерии положительной и отрицательной определенностей Литература 1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи Квадратичной формой j (х1 , х2 , …, xn ) n действительных переменных х1 , х2 , …, xn называется сумма вида ,(1) где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji . Квадратичная форма называется действительной, если aij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j(х) = хТ Ах, где хТ = (х1 х2 … xn ). (2) И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных. Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной. Пример 1. Записать матрицу квадратичной формы j (х1 , х2 , x3 ) = – 6х1 х2 – 8х1 х3 + + 4х2 х3 – и найти ее ранг. Решение. Þr(A) = 3 Þ квадратичная форма невырождена. 2. Знакоопределенность квадратичных форм Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1 , х2 , …, xn ), кроме х = (0, 0, …, 0). Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот. Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1 , х2 , …, xn ), кроме х = (0, 0, …, 0). Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной. Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0). Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках. Пример 2. Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм. 1) Þ т. е. квадратичная форма является положительно определенной. 2) Þ т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной. 3) Þ данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2 , а не только в начале системы координат. Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их. Главными минорами квадратичной формы называются миноры: то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А. 3. Критерий положительной и отрицательной определенности Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма j(х) = хТ Ах была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть: М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0. Критерий отрицательной определенности Для того чтобы квадратичная форма j(х) = хТ Ах была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть: М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0. Пример 3. При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной? j (х1 , х2 , x3 ) = Решение. Построим матрицу А и найдем ее главные миноры. М1 = 1 > 0, = а – 1 > 0 Þ а > 1. = ав – а – в > 0 Þв > . Ответ: а > 1, в > . Пример 4. При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной? j (х1 , х2 , x3 ) = Решение. М1 = –1 < 0, = –а – 1 > 0 Þ а < –1. = –ав – а – в < 0 Þв > – . Ответ а < –1, в > – . Пример 5. Доказать, что квадратичная форма j (х1 , х2 , x3 ) = положительно определена. Решение. Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А. М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 = ú А ç = 162 > 0 Þj (х1 , х2 , x3 ) положительно определенная квадратичная форма. Литература 1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.