Кривые второго порядка ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кривые второго порядка СОДЕРЖАНИЕ 1 Окружность. Эллипс 2Гипербола 3Парабола 4 Литература 1 Окружность. Эллипс При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у , или обе переменные х и у , входят во второй степени, или же входит произведениех· у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R ; – уравнение гиперболы, – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть – центр окружности. R – радиус окружности. Пусть – произвольная точка окружности. Следовательно, = = (1) (1) – уравнение окружности радиуса R cцентром в точке с координатами Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а , а > 0,большая , чем расстояние между фокусами 2с , с > 0. Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х , причем т. е. – межфокусное расстояние эллипса. Пусть – произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса. По определению эллипса: r 1 + r 2 = 2a , а > c . Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем: (2) Умножим (2) на (3) Сложим уравнения (2) и (3): (4) Возведем (4) в квадрат: Пусть (5) (5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение – каноническое уравнение эллипса с центром в точке Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса . Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу , если а = , то эллипс превращается в окружность. Точки , называются вершинами эллипса . Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: Так как (6) Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а . (7) Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность. При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох . Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4): (8) Из (3): Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М . Прямые называются директрисами эллипса . – левая директриса, – правая директриса. Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством: (9) т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса. 2 Гипербола Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая , чем расстояние между фокусами Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох , причем т. е. Заметим, что Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, – фокальные радиусы точки М . По определению гиперболы: где Следовательно, (10) Умножим (10) на (11) Сложим уравнения (10) и (11): (12) Возведем (12) в квадрат: Пусть (13) (13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение – каноническое уравнение гиперболы с центром в точке Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a = b ) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид: Точки называются вершинами гиперболы. Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид (14) то фокусы гиперболы находятся на оси Оу , а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз. Так как , то (15) Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси : (16) Следовательно, Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (12) (17) Прямые называются директрисами гиперболы. – левая директриса, – правая директриса. Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса (18) т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы. Для гиперболы важную роль играют также прямые (19) которые являются ее асимптотами , т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить) Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу , то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис. 3 Парабола Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой. Построим уравнение параболы. Пусть ось О x проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы . Число p – называется фокальным параметром параболы. Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M . d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда По определению параболы . Следовательно Возведем это уравнение в квадрат (20) – каноническое уравнение параболы , симметричной относительно оси О x и проходящей через начало координат. Точка (0; 0) – вершина параболы. Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу . Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1). Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением х 2 = 2q y (21) Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М (х , у ) выражается формулой . Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох . Рассмотрим примеры. ПРИМЕР 1 Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = 0. Решение. Выделим полные квадраты в данном уравнении: х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = (х 2 – 4х + 4) – 4 + (у 2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0 Þ (х – 2)2 + (у + 3)2 = 16. Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4. ПРИМЕР 2 Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох , проходит через точку М (–4; ) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М . Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид Так как эллипс проходит через точку М , то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению Фокусы находятся на оси Ох , следовательно Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а 2 и в 2 : Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид: Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, , . Þr 1 = а + eх = = 8 – 3 = 5, r 2 = а – eх = = 8 + 3 = 11. ПРИМЕР 3 Определить траекторию точки М , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4. Решение. Пусть М (х , у ). Тогда çMN ú = 2 çMF ú, çMN ú = ç–4 – x ú, çMF ú= = , Þç– (4 + х )ú = . Возведем в квадрат: (4 + х )2 = 4 ((х + 1)2 + у 2 ), Þ 16 + 8х + х 2 = (х 2 + 2х + 1 + у 2 ) · 4 = 4х 2 + 8х + 4 + 4у 2 , Þ 3х 2 + 4у 2 = 12 Þ Þ . Таким образом, точка М (х , у ) движется по эллипсу. ПРИМЕР 4 Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса . Решение. Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в . Следовательно, Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F 1 (–с ; 0) = (–4; 0), F 2 (4; 0). Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в ), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох , имеет вид (13) , причем F 1 (–5 ; 0), F 2 (5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с 1 = 5. Найдем а 1 и в 1 . Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а 1 = с = 4. Следовательно: . Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид ПРИМЕР 5 Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох . Решение. Пусть точка М (х , у ) – принадлежит данному множеству точек. Следовательно çFM ú = çNM ú , çFM ú == , çNM ú = 2 – у , Þ 2 – у = . Возведем в квадрат: – парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох . у = 0 Þ Þ Þх 1 = 0; х 2 = 4. Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0). Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ = = 2 – 1 = 1, т. е. Вершиной параболы будет точка (2; 1). ПРИМЕР 6 На параболе у 2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5. Решение. Так как у 2 = 2рх Þ 2р = 6, р = 3. Þ = = Значит у 2 = 6 · 3 = 18 Þу = ± = ± . Þ (3; ± ) – две таких точки. ЛИТЕРАТУРА 1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.