Краткое доказательство гипотезы Биля (сочинение) Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: Аx +Вy = Сz /1/ не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2. Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом: Аx = Сz - Вy /2/ Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром Aи переменными Bи С. Уравнение /2/ запишем в следующем виде: Аx = (С0,5 z ) 2 - (В0,5 y ) 2 /3/ Обозначим: В0,5 y =V/4/ С0,5 z =U/5/ Отсюда: Вy =V2 /6/ Сz =U2 /7/ В = /8/ С = /9/ Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует: Аx = Сz -Вy =U2 -V2 /10/ Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: Аx = (U-V) ∙ (U+V) /11/ Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим: U-V=X/12/ Из уравнения /12/ имеем: U=V+X/13/ Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем: Аx = X· (V+X+V) =X (2V+X) =2VХ+X2 /14/ Из уравнения /14/ имеем: Аx - X2 =2VХ/15/ Отсюда: V= /16/ Из уравнений /13/ и /16/ имеем: U= /17/ Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем: B= /18/ C = /19/ Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа А на число X, т.е. число Xдолжно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно: A = N∙ X, /20/ где N - простое или составное целое положительное число. Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел Aи X: оба числа должны быть четными или оба нечетными. Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует: В= /21/ C= /22/ Обозначим: P = /23/ Q = /24/ Тогда: B = /25/ С = /26/ Из уравнений /23/ и /24/ имеем: Q = /27/ Таким образом, из уравнений /26/ и /27/ следует: С = /28/ Из анализа уравнений /25/ и /28/ следует, что поскольку разность между числами Pи Qравна всего лишь: Q- P = P + 1 - P = 1, /29/ то по меньшей мере одно из чисел В или С является дробным числом. Допустим, что число В - целое число. ПРИМЕРЫ: X=33 = 27; P = 53 =125; y=6. По формуле /25/ имеем: B = = . Тогда: при z=6: С = = - дробное число. при z=5: С = = - дробное число. при z=4: С = = - дробное число. при z=3: С = = - дробное число. при z=7: С = = - дробное число. Очевидно, что если (am ) 2 = a2 m , то (am + 1) 2 ≠ b2 m , где: a- целое число; b- целое число. Таким образом, одно из чисел В или С - дробное число. Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.