Краткое доказательство великой теоремы Ферма Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008 Свидетельство Украины № 27312 о регистрации авторского права КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html): А n + В n = С n * /1/ где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A , B , С . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А , В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом. Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n . Рассмотрим оба случая. 1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом: А n + В n = С n = (A+B)[An-1 -An-2 ·B +An-3 ·B2 - …-A·Bn-2 +Bn-1 ] /2/ Полагаем, что A и B – целые положительные числа. Числа А , В и С должны быть взаимно простыми числами. Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель ( A + B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа С. Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие: С n = An + Bn =(A+B)n ∙ Dn , / 3/ гдемножитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом. Из уравнения /3/ следует: /4/ Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn = An + Bn ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число ( A + B ) n . Однако известно, что: An + Bn < ( A + B ) n /5/ Следовательно: - дробное число, меньшее единицы. /6/ - дробное число. Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах. При нечетных показателях степени n >2 число: < 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью. Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число: С n = А n + В n = (A+B)[An-1 -An-2 ·B +An-3 ·B2 - …-A·Bn-2 +Bn-1 ] состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остаетсяалгебраический множитель ( A + B ). Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2. 2. Случай второй: показатель степени n - четное число. Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом: An = Cn - Bn /7/ В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом: An = Cn - Bn = ( С +B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B+ Cn-3 ∙ B2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/ Принимаем, что С и В – целые числа. Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+ B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа A . Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие: А n = С n - Bn =(С+ B ) n ∙ Dn , / 9/ гдемножитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом. Из уравнения /9/ следует: /10/ Из уравнения /9/ также следует, что число [А n = С n - Bn ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+ B ) n . Однако известно, что: С n - Bn < (С+ B ) n /11/ Следовательно: - дробное число, меньшее единицы. /12/ - дробное число. Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах. При четных показателях степени n >2 число: < 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2. Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cn - Bn ) раскладывается на алгебраические множители: C2 – B2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/ C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C2 + B2 );/14/ C6 – B6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C2 –CB + B2 ) ∙ (C2 +CB+ B2 ); /15/ C8 – B8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C2 + B2 ) ∙ (C4 + B4 )./16/ Приведем примеры в числах. ПРИМЕР 1: В=11; С=35. C 2 – B 2 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24 · 3 · 23; C 4 – B 4 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673; C 6 – B 6 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312 ) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577; C 8 – B 8 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633. ПРИМЕР 2: В=16; С=25. C 2 – B 2 = (32 ) ∙ (41) = 32 ∙ 41; C 4 – B 4 = (32 ) ∙ (41) · (881) =32 ∙ 41 · 881; C 6 – B 6 = (32 ) ∙ (41) ∙ (22 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61; C 8 – B 8 = (32 ) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833. Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует: - при заданном показателе степени n , если он четное число, число А n = С n - Bn раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей; - при любом показателе степени n , если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn - Bn ) всегда имеются множители ( C - B ) и ( C + B ) ; - каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель; - при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями; - каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей; - величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей; - в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степениn (чаще всего в первой степени). ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах. Автор: Николай Михайлович Козий, инженер-механик