Исследование функций ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ СОДЕРЖАНИЕ 1. Основные теоремы дифференциального исчисления 1.1 Локальные экстремумы функции 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа 2. Исследование функций 2.1 Достаточные условия экстремума функции 2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба 2.3 Асимптоты графика функции 2.4 Общая схема построения графика функции Литература 1 . ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.1 Локальные экстремумы функции Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка множества Х. Обозначим через U(х0 ) окрестность точки х0 . В точке х0 функция f(х) имеет локальный максимум , если существует такая окрестность U(х0 ) точки х0 , что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £f(х0 ). Аналогично: функция f(х) имеет в точке х0 локальный минимум , если существует такая окрестность U(х0 ) точки х0 , что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) ³f(х0 ). Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции. Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью. Проиллюстрируем данные выше определения: На рисунке точки х1 , х3 – точки локального минимума, точки х2 , х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума. Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума. 1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма. Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р). Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f'(x0 ), то f'(x0 ) = 0. Доказательство. Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³f(х0 ), œх ÎU(х0 ). Тогда в силу дифференцируемости f(х) в точке х0 получим: при х > х0 : при х < х0 : Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f(х)и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0 , f(х0 )), параллельна оси Ох: Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны. Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1). В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0 ). Пример 2. у = х3 , х Î [–1; 1]. В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 Ï (–1; 1). Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0. Доказательство: 1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, œх Î (a, b); 2) если f(x) ¹const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка [a, b]. Следовательно, maxf(x)или minf(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0. Теорема доказана. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïïOx (см. рисунок). Заметим, что все условия теоремы существенны. Пример 3. f(x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f(-1) = f(1) = 1. В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается. Пример 4. Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала (0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1]. Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам. Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что . (1) Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0: Следовательно: . Теорема доказана. Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f'(x)). Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что (2) Доказательство. Из формулы (1) при g(x) = xполучаем формулу (2). Теорема доказана. Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем. Геометрический смысл теоремы Лагранжа. При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f(x) в точке (x, f(x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок). Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа: 1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f'(x) = 0, œх Î (a, b), то функция f(x) постоянна на [a, b]. 2. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f'(x) = g'(х), œх Î (a, b). Тогда f(x) = g(х) + С, где С = const. 3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f'(x) > 0,œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) < 0, œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно убывает на (a, b). 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2.1 Достаточные условия экстремума функции В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика. По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f(x) в точке локального экстремума х0 следует, что f'(x0 ) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 – экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x0 ) = 0. Точки х0 , в которых f'(x0 ) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке. Пример 1. у = х3 , у' = 3х2 , у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума. Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0: f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥ Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?». Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0 ) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0 . Тогда: 1) если (1) то в точке х0 – локальный максимум; 2) если (2) то в точке х0 – локальный минимум. Доказательство. Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть (3) Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум. Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума: f (x) f (x) f'(х) ³ 0 f'(х) £ 0 f'(х) £ 0 f'(х) ³ 0 Теорема доказана. Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка. Решение. Найдем стационарные точки функции: Þ х2 –1 = 0 Þ х1 = –1, х2 = 1. Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно: х (–¥; –1) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +¥) у' + 0 – – – 0 + у –2 – 2 max min То есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке х1 = –1, равный уmax (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1, уmin (1) = 2. Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0 – стационарная точка (f'(х0 ) = 0), в которой f''(х0 ) > 0, то в точке х0 функция имеет локальный минимум. Если же f''(х0 ) < 0, то в точке х0 функция имеет локальный максимум. Доказательство. Пусть для определенности f''(х0 ) > 0. Тогда Следовательно: при х< х0 , f'(х) < 0, при х> х0 , f'(х) > 0. Поэтому по теореме 1 в точке х0 функция имеет локальный минимум. Теорема доказана. Пример 3. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной. Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х1 = –1, х2 = 1. Найдем вторую производную данной функции: Найдем значения второй производной в стационарных точках. Þ в точке х1 = –1 функция имеет локальный максимум; Þ в точке х2 = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2). Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках. 2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба Пусть функция f(х) задана на интервале (a, b) и х1 , х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1 , f(х1 )) и В (х2 , f(х2 )) графика функции f(х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х). Функция f(х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1 , х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f(х) £ у (х), œ х Î[х1 , х2 ] Ì (a, b): Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх. Функция f(х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1 , х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f(х) ³ у (х), œ х Î[х1 , х2 ] Ì (a, b): Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f(х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и 1) f''(х) > 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз; 2) f''(х) < 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вверх. Точка х0 называется точкой перегиба функцииf(х), если $d – окрест-ность точки х0 , что для всех х Î (х0 – d, х0 ) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х0 , х0 + d) – с другой стороны каса-тельной,проведенной к графику функции f(х) в точке х0 , то есть точка х0 – точка перегиба функции f(х), если при переходе через точку х0 функция f(х) меняет характер выпуклости: х0 – d х0 х0 + d Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f(х) имеет непрерывную в точке х0 производную f'' и х0 – точка перегиба, то f'' (х0 ) = 0. Доказательство. Если бы f'' (х0 ) < 0 или f'' (х0 ) > 0, то по теореме 3 в точке х0 функция f(х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f''(х0 ) = 0. Теорема доказана. Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f(х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через точку х0 производная f''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f(х). Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3 . Решение. у' = 3х2 , у'' = 6х = 0 Þ х0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб. В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб: х (–¥; 0) 0 (0; +¥) у'' – 0 + у выпукла вверх 0 выпукла вниз точка перегиба Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции . Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости: х (–¥; 0) 0 (0; +¥) у'' – – + у выпукла вверх – выпукла вниз функция не определена 2. 3 Асимптоты графика функции Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(х), если хотя бы один из пределов f(х0 – 0) или f(х0 + 0) равен бесконечности. Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций: а) б) в) Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х0 , где х0 – точки, в которых функция не определена. а) х = 3 – вертикальная асимптота функции . Действительно, ; б) х = 2, х = –4 – вертикальные асимптоты функции . Действительно, , ; в) х = 0 – вертикальная асимптота функции Действительно, . Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, если f(х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f(х) существует, то разность ординат функции f(х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® –¥. Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f(х) при х ® +¥ или х ® –¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов: (4) Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот. Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции Решение. Найдем пределы (4): Следовательно, k = 1. Следовательно, b = 0. Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту у = kx + b = 1 · х + 0 = х. Ответ: у = х – наклонная асимптота. Пример 8. Найти асимптоты функции . Решение. а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции. Действительно, . ; б) у = kx + b. Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции. Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп- тоты. 2.4 Общая схема построения графика функции 1. Находим область определения функции. 2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. 4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба. 5. Находим асимптоты графика функции. 6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат. 7. Строим график. Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции. Функция у = f(х) называется четной , если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат . Функция у = f(х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f(–х) = –f(х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат . Пример 9. Построить график . Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах. 1. D(у) = (–¥; 0) È (0; +¥). 2. Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат. 3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум: х (–¥; –1) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +¥) у' + 0 – – – 0 + у –2 – 2 max min 4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба. х (–¥; 0) 0 (0; +¥) у'' – – + у выпукла вверх – выпукла вниз функция не определена Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена. 5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции: а) х = 0 – вертикальная асимптота; б) у = х – наклонная асимптота. 6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как , при любых х Îú, а х = 0 ÏD(у). 7. По полученным данным строим график функции: Пример 10. Построить график функции . Решение. 1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥). 2. – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат. 3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум: 3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2 ) = 0, х1 = 0, х2 = , х3 = . х (–¥; ) ( ; 0) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; ) ( ; +¥) у' – 0 + – + 0 + – + 0 – у 2,6 – 0 – –2,6 4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба: х = 0 – точка, подозрительная на перегиб. х (–¥; –1) –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 (0; +¥) у'' + – – 0 + – – у выпукла вниз – выпукла вверх 0 выпукла вниз – выпукла вниз перегиб 5. Найдем асимптоты функции: а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты. Действительно: б) у = kx + b. , Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота. 6. Найдем точки пересечения с осями координат: х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат. 7. Строим график: ЛИТЕРАТУРА 1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с.