Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 51
|
Министерствообразования и науки Украины Днепропетровский Национальный Университет Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем Кафедра АСОИ Расчётная задача №2
«Исследование операций» Выполнил: Ст. группы РС-05 Проверил: Доцент кафедры АСОИ Саликов В.А. г. Днепропетровск 2007г. Условие задачи
1)Решим графическим методом
Следовательно, оптимальное решение: X1=4/9 Х2=35/9 Минимальное значение целевой функции: Z=55/9 2)Симплекс-метод
В случае, когда одно или несколько ограничений имеют знаки ³ или = невозможно получить решение. Для получения начального допустимого базиса вводят искусственные переменные R1,R2,R3,R4. Поскольку R1,R2,R3,R4 не имеют отношение к содержательной постановке задачи, то за их применение назначается штраф. В ходе решения задачи на заключительной итерации эти переменные должны принять нулевое значение и выйти из базиса. Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Z=5x1+x2 min Добавим в систему уравнений искусственные переменные R при ограничениях: x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0; x5 >= 0; x6 >= 0; x7 >= 0; x8 >= 0; x9 >= 0; R1 >= 0; R2 >= 0; R3 >= 0; R4 >= 0 Существуют базисные и небазисные переменные. Включающиеся переменные называются небазисными в данный момент переменными, которые включаются в состав базиса на следующей итерации. Исключаемые - базисные переменные, которые на следующей итерации подлежат исключению. На следующем шаге необходимо подставить значение Таким образом, задача в стандартной форме имеет следующий вид: x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0; x5 >= 0; x6 >= 0; x7 >= 0; x8 >= 0; x9 >= 0; R1 >= 0; R2 >= 0; R3 >= 0; R4 >= 0 Перенесем члены целевой функции влево z -5x1-1x2 = 0 Далее задача решается обычным симплекс-методом Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю n- m небазисных переменных. Шаг 1. Из числа небазисных переменных (равных нулю) выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает больший по сравнению с остальными рост целевой функции (условие оптимальности). Если такой переменной нет, вычисления прекращаются и полученное решение является оптимальным. В противном случае, переходят к шагу 2. Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, значение которой быстрее всех стремится к нулю при переходе к новой смежной точке (становящаяся небазисной и равной нулю при введении в базис новой переменной - условие допустимости). Шаг 3. Определяется новое базисное решение (соответствующее новой смежной точке, т.е. новому составу базисных и небазисных переменных) и осуществляется переход к шагу 1. Строим симплекс таблицу: Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение целевой функции Для определения нового базисного решения (шаг 3) воспользуемся методом Гаусса-Жордана: А) новая ведущая строка = предыдущая ведущая строка / ведущий элемент; Б) новое уравнение = предыдущему уравнению – {старый коэффициент ведущего столбца, соответствующий искомому уравнению * новую ведущую строку} Новая симплекс – таблица будет иметь следующий вид: В столбцах векторов, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю. В состав таблицы входят столбцы для базисных переменных и всех переменных, входящих в целевую функцию и ограничения, и, кроме того, столбец решений и отношений. Строками таблицы являются строки из коэффициентов при переменных в соответствующих уравнениях для базисных переменных. Для решения задачи шага 1 из числа небазисных (равных нулю) переменных выбираем включаемую переменную, имеющую наибольший отрицательный коэффициент в z – уравнении (условие оптимальности), т.к. при этом обеспечивается максимальный прирост целевой функции в стандартной форме. Столбец с включаемой переменной становится ведущим. Исключаемую переменную (шаг 2) определяем по минимальному положительному отношению правой части уравнения к соответствующему коэффициенту ведущего столбца (условие допустимости - обращение в нуль данной переменной в смежной точке). Строка, соответствующая исключаемой переменной, становится ведущей. Далее определяем ведущий элемент таблицы на пересечении ведущего столбца и строки Во вводимой переменной в задаче минимизации является небазисная переменная, имеющая в Z-уравнении наибольший положительный коэффициент. Базис Базис Базис Если переменной для включения в базис нет и все коэффициенты при небазисных переменных - отрицательны, то полученное решение оптимально. Таким образом, оптимальное решение задачи имеет вид: Так как, значение целевой функции, вычисленное симплекс методом, совпало со значением, полученным в результате решения графическим методом, можно сделать вывод, что найденные значения
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||