Ряды динамики МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ   Факультет менеджмента Кафедра ОП И ВЭД по дисциплине: «Статистика» на тему : «Ряды динамики» Выполнил: студент группы ВЭД-95-1 Иванов Олег Проверил: ст. преп. Дружинина И. В. Тюмень 1999 1. ПОНЯТИЯ И КЛАССИИКАЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ   1.1 Понятие о статистических рядах динамики . Ряды динамики – статистические данные , отображающие развитие во времени изучаемого явления . Их также называют динамическими рядами , временными рядами . В каждом ряду динамики имеется два основных элемента : 1) показатель времени t ; 2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y; В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы , кварталы, месяцы, сутки). Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления . Они могут выражаться абсолютными , относительными или средними величинами . Ряды динамики различаются по следующим признакам : 1) По времени . В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам . В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные . Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени . Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 1991 году (таб. 1): Таблица 1[]     Списочная численность работников магазина в 1991 году Дата 1.01.91 1.04.91 1.07.91 1.10.91 1.01.92 Число работников , чел. 192 190 195 198 200 Особенностью моментного ряда динамики является то , что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности . Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами , -- величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами . Так , основная часть персонала магазина , составляющая списочную численность на 1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года , отображена в уровнях последующих периодов . Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет . Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы , состояние кадров , количество оборудования и других показателей , отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени . Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени . Примером интервального ряда могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2): Таблица 2[] Объем розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг. Год 1987 1988 1989 1990 1991 Объем розничного товарооборота , тыс. р. 885.7 932.6 980.1 1028.7 1088.4 Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени . При этом единица совокупности , входящая в состав одного уровня , не входит в состав других уровней . Особенностью интервального ряда динамики является то , что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени . Например , суммируя товарооборот за первые три месяца года , получают его объем за I квартал , а суммируя товарооборот за четыре квартала , получают его величину за год , и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше , чем больше длина интервала , к которому этот уровень относится . Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов . Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров , суммы издержек обращения и других показателей , отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды . Статистическое отображение изучаемого явления во времени может быть представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение обусловлено потребностями отображения результатов развития изучаемых показателей не только за данный отчетный период , но и с учетом предшествующих периодов . При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней . Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с начала отчетного периода (года , месяца , квартала и т. д.) . Ряды динамики с нарастающими итогами строятся при определении общего объема товарооборота в розничной торговле . Так , обобщением товарно – денежных отчетов за последние операционные периоды (пятидневки , недели , декады и т. д.) . 2) По форме представления уровней . Могут быть построены также ряды динамики , уровни которых представляют собой относительные и средние величины . Они также могут быть либо моментными  либо интервальными . В интервальных рядах динамики относительных и средних величин непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла , так как относительные и средние величины являются производными и исчисляются через деление других величин . 3) По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные или неполные ряды динамики . Полные ряды динамики имеют место тогда , когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами . Это равноотстоящие ряды динамики . Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается . 4) По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики . Если ведется анализ во времени одного показателя , имеем изолированный ряд динамики . Комплексный ряд динамики получается в том случае , когда в хронологической последовательности дается система показателей , связанных между собой единством процесса или явления . 1.2 Требования , предъявляемые к рядам динамики 1) Сопоставимость статистических данных Основным условием для получения правильных выводов при анализе рядов динамики является сопоставимость его элементов . Ряды динамики формируются в результате сводки и группировки материалов статистического наблюдения . Повторяющиеся во времени ( по отчетным периодам) значения одноименных показателей  в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности . При этом каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды , в которых могут происходить изменения , приводящие к несопоставимости отчетных данных с данными других периодов . Поэтому для анализа ряда динамики необходимо приведение всех составляющих его элементов к сопоставимому виду . Для этого в соответствии с задачами исследования устанавливаются причины , обусловившие несопоставимость анализируемой информации , и применяется соответствующая обработка , позволяющая производить сравнение уровней ряда динамики . Несопоставимость в рядах динамики вызывается различными причинами . Это могут быть разновеликость показаний времени, неоднородность состава изучаемых совокупностей во времени , изменения в методике первичного учета и обобщения исходной информации , различия применяемых в различное время единиц измерения и т. д.  Так , при изучении динамики товарооборота по внутригодовым периодам несопоставимость возникает при неодинаковой продолжительности показаний времени (месяцев , кварталов , полугодий) При отсутствии информации о фактическом времени работы для получения сопоставимых среднесуточных показателей используется режимное время работы . Последнее различно в зависимости от выполняемых торговлей функций и обслуживаемого контингента . Для розничной торговли возможны следующие варианты режимного времени : a) Предприятия , работающие без перерыва в праздничные и выходные дни (например , дежурные продуктовые и хлебобулочные магазины , рестораны , кафе) . Их фонд рабочего времени соответствует календарному ; b) Предприятия , не работающие в праздничные дни ( например , городские рынки) . Их фонд рабочего времени меньше календарного на число ежегодных праздничных дней ; c)  Предприятия , не работающие в праздничные и общевыходные дни  (например, городские промтоварные магазины , предприятия общественного питания на фабриках , в учреждениях и т. д.) . Величина их рабочего времени зависит от размещения в каждом календарном году праздничных и выходных дней ; d) Предприятия , работающие в отдельные периоды времени , сезоны года (например , городские овощные базары , торговля в местах массового летнего отдыха и т. д.) . 2) Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов . Чем больше вариация уровней во времени , тем чаще следует делать замеры . Соответственно для стабильных процессов интервалы можно увеличить . Так , переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет ; учет национального дохода , урожая ведется один раз в год ; ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют , и т. д. 3)Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени . Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней , если же такие пропуски неизбежны , то их восполняют условными расчетными значениями.  1.3 Тенденция и колеблемость в рядах динамики При сравнении уровней разных лет можно отметить , что в целом показатель растет . Однако нередки случаи , когда , например , уровень урожайности предыдущего года оказывается выше , чем в последующем году . Иногда рост по сравнению с предыдущим годом велик , иногда мал . Следовательно , рост наблюдается лишь в среднем , как тенденция . В остальные же годы происходят колебания , отклоняясь от данной основной тенденции . Если рассматривать динамические ряды месячных уровней производства молока , мяса , ряды объема продаж разных видов обуви или одежды , ряды заболеваемости населения , выявляются регулярно повторяющиеся из года в год сезонные колебания уровней . В силу солнечно – земных связей частота полярных сияний , интенсивность гроз , те же изменения урожайности отдельных сельскохозяйственных культур  и ряд других процессов имеют циклическую 10 – 11 летнюю колеблемость . Колебания числа рождений , связанные с потерями в войне , повторяются с угасающей амплитудой через поколения , то есть через 20 – 25 лет. Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих факторов , причин и условий развития , хотя , конечно , после какого – то периода условия могут измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого объекта . Колебания же , напротив , связаны с действиями краткосрочных или циклических факторов , влияющих на отдельные уровни динамического ряда , и отклоняющих уровни тенденции то в одном , то в другом направлении . Например , тенденция динамики урожайности связана с прогрессом агротехники , с укреплением экономики данной совокупности хозяйств  совершенствованием организации производства . Колеблемость урожайности вызвана чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных лет , циклами солнечной активности и т. д. При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить два ее основных элемента – тенденцию и колеблемость , чтобы дать каждому из них количественную характеристику с помощью специальных показателей . Смешение тенденции и колеблемости ведет к неверным выводам о динамике . 1.4 Структура ряда динамики . Задачи , решаемые с помощью рядов динамики .  Взаимосвязанные ряды динамики . Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих : 1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда ( к увеличению или снижению его уровней) ; 2) циклические (периодические колебания , в том числе сезонные); 3) случайные колебания. С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития  социально – экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях : 1) Характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени ; 2) Измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей ; 3) Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) ; 4) Изучение периодических колебаний ; 5) Экстраполяция и прогнозирование . Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие , в которых уровни одного ряда в какой – то степени определяют уровни другого . Например , ряд , отражающий внесение удобрений на 1 га , связан с временным рядом урожайности , ряд уровней средней выработки связан с рядом динамики средней заработной платы , ряд среднегодового поголовья молочного стада определяет годовые уровни надоев молока и т.д. 2. ПОКАЗАТЕЛИ , РАССЧИТЫВАЕМЫЕ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ 2.1Статистические показатели динамики социально – экономических явлений . Для количественной оценки динамики социально – экономических явлений применяются статистические показатели : абсолютные темпы роста и прироста , темпы наращивания и т. д. В основе расчета показателей рядов динамики лежит сравнение его уровней . В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения . Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем . Исчисляемые при этом показатели называются базисными . Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим . Такие показатели называются цепными . Способы расчета показателей динамики рассмотрим на данных товарооборота магазина в 1987 – 1991 гг. (см. таб. 2). Абсолютный прирост – важнейший статистический показатель динамики , определяется в разностном соотношении , сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации . Бывает цепной и базисный : 1) Базисный абсолютный прирост  определяется как разность между сравниваемым уровнем и уровнем , принятым за постоянную базу сравнения (формула 1):                                                                                                           (1)                                                                  2) Цепной абсолютный прирост  – разность между сравниваемым уровнем и уровнем , который ему предшествует, (формула 2):                                                                           (2) Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак , показывающий , насколько уровень изучаемого периода ниже базисного . Между базисными и абсолютными приростами существует связь : сумма цепных абсолютных приростов  равна базисному абсолютному приросту последнего ряда динамики   (формула 3):                                                                                                               (3) Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности (формула 4):                                                                      (4) Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте , но не в базисном . Отрицательная величина ускорения говорит о  замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда . Темп роста – распространенный статистический показатель динамики . Он характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах . 1) Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня  на уровень , принятый за постоянную базу сравнения , по формуле 5 :                                                                                                        (5) 2) Цепные темпы роста  исчисляются делением сравниваемого уровня  на предыдущий уровень  (формула 6):                                                                                                    (6) Если темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным . Темп роста ,равный единице (или 100%) , показывает , что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не изменился . Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак . Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь : произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста , а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста . Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах . Исчисленный в процентах темп прироста показывает , на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню , принятому за базу сравнения . 1) Базисный темп прироста  вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень , принятый за постоянную базу сравнения (формула 7):                                                                                      (7) 2) Цепной темп прироста  -- это  отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста  к предыдущему уровню (формула 8):                                        =  :                                              (8)   Между показателями темпа роста и темпа прироста существует взаимосвязь , выраженная формулами 9 и 10:                     (%) = (%) -- 100                                              (9) (при выражении темпа роста в процентах).                      =  -- 1                                                          (10) (при выражении темпа роста в коэффициентах). Формулы (7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам роста . Важным статистическим показателем динамики социально – экономических процессов является темп наращивания , который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала . Вычисляются темпы наращивания Тн делением цепных абсолютных приростов  на уровень , принятый за постоянную базу сравнения ,  по формуле 11:                                                                                                      (11) 2.2 Средние показатели в рядах динамики  Для получения обобщающих показателей динамики социально -- экономических явлений определяются средние величины : средний уровень , средний абсолютный прирост , средний темп роста и прироста и пр. Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней . В интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением суммы уровней на их число n (формула 12):                                                                                      (12) В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень определяется по формуле 13:                                                              (13) В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется по формуле 14:                                                  ,                                 (14) где  – уровни ряда динамики , сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени . Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики . Для определения среднего абсолютного прироста  сумма цепных абсолютных приростов делится на их число n (формула 15):                                                                           (15) Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики . Для этого определяется разность между конечным и базисным  уровнями изучаемого периода , которая делится на m – 1 субпериодов (формула 16):                                                                              (16) Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами , показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17:                                                                                  (17) Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики . Для определения среднего темпа роста  применяется формула 18:                                                         (18) где Тр1 , Тр2  , ... , Трn  -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста. Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле 19:                                                                          (19)    На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста можно определить по формуле 20:                                                                            (20) Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста . При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой 21:                                                                                 (21) (при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)      2.3 Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда Изучение тренда включает в себя два основных этапа : 1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда 2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов . Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям . 1) Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется средняя величина ( ) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда . 2) Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста). 3) Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп . 4) Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).   Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует , то количество серий является случайной величиной , распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале . Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р. Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :                                            .                                  (22) Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23 :                                            .                             (23) здесь n -- число уровней ряда . Выражение для доверительного интервала приобретает вид Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю . Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами . 1) Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) . 2) Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).   При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только 50%. Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 :                        .                              (24) Для последней точки расчет симметричен . При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):                                     (25) Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках . Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом (формула 26): для 3--членной   .                                 (26) 3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:                                        ,                                     (27) где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;         -- случайное и циклическое отклонение от тенденции. Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса . Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости : линейная  ; параболическая ; экспоненциальная   или ). 1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению. 2) Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют . 3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).   Оценка параметров ( ) осуществляется следующими методами : 1) Методом избранных точек, 2) Методом наименьших расстояний, 3) Методом наименьших квадратов (МНК) В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных : . Для линейной зависимости ( ) параметр  обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ; -- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом , можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост . Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень ( ) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением :            ,         (28) где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию; n             -- число уровней ряда ; Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :                                                                   (29)                                           (30)                                               (31) сравнивается с  при  степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если > , то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции. 2.4 Анализ сезонных колебаний Уровень сезонности оценивается с помощью : 1) индексов сезонности ; 2) гармонического анализа. Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня , вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень  существу , относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции . Если тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле 32:                                                                                   (32) где -- уровень показателя за месяц (квартал) t ;        -- общий уровень показателя . Как отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по формулам 33 :                                        (33) где  -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;           Т     -- число лет . При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов , исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий : 1) для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t); 2) рассчитывают отношения ; 3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле 34 :                    ,(Т -- число лет).                 (34) Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов . Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде формулы 35 :                  (35) при t = 1, 2, 3, ... , Т. Здесь   -- фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t; f(t)     – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t       -- параметры колебательного процесса (гармоники) с номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки . Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда , состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по формулам 36 –38 : 1) ;                                                                       (36) 2)                                                                                                                                                               (37)       при n=1,2,...,(T/2 – 1); 3)                                        (38) 2.4 Анализ взаимосвязанных рядов динамики . В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста . Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста . Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками . Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона (формула 39) :                                      ,                                (39) где -- отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выравненного) значения . При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2 автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами . 1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :                                                                             (40) Далее выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :                                                                           (41) Для последовательностей  выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :                                                                                  (42) Более полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа автокорреляционной функции , когда определяются число параметров ( ) и соответствующие этим параметрам величины шагов . Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :                    (t = 1, ... , Т)               (43) и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :                                               .                                   (44) 2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :                                                               (45) По DХ и DУ определяют по формуле 46 направление и силу связи в регрессии:                                                   (46) 3. Включение времени в уравнение связи : . В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула 47):                                                               (47) Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй , однако более эффективен первый .