Доказательство теоремы Ферма для n=4 (сочинение) Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn + Вn = Сn (1) где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах. Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом: Аn = Сn - Вn (2) Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом: А4 = С4 -В4 (3) Уравнение (3) запишем в следующем виде: А4 = (С2 ) 2 - (В2) 2 = (С2 -В2 ) ∙ (С2 +В2 ) (4) Пусть: (С2 -В2 ) = N4 (5) Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4 - ой степени с параметром Nи переменными Bи С. Преобразуем уравнение (5): N4 = (С -В) · (С +В) (6) Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим: C-B=M (7) Из уравнения (7) имеем: C=B+M (8) Из уравнений (6), (7) и (8) имеем: N4 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2B∙M+M2 (9) Из уравнения (9) имеем: N4 - M2 = 2B∙M (10) Отсюда: B= (11) Из уравнений (8) и (11) имеем: C= (12) Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4 на число M, т.е. число Mдолжно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4 . Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел Nи M: оба числа должны быть четными или оба нечетными. Из уравнений (11) и (12) также следует: С2 +В2 = (13) Обозначим: С2 +В2 = K (14) Пусть: N=P∙S; M=S2 Тогда: K= С2 +В2 = (15) Из уравнений (4), (5) и (15) следует: A4 = N4 ∙ K=N4 · S4 ∙ (16) Отсюда следует: A = N· S∙ (17) Очевидно, что: - дробное число. То есть: С2 + В2 ≠ R4 ; A4 ≠ N4 ∙R4 Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А - дробное число. Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству: С2 + В2 = R4