Лекция по Математике Заказ №1459 №1 Округлить сомнительные цифры числа а , оставив верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата. Решение а) По условию . Следовательно, в числе верными в узком смысле являются четыре цифры: 3, 7, 8, 5. Округляем число a до четырех значащих цифр: . Тогда Так как , то число a 1 имеет три верные цифры: 3, 7, 8. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда Так как , то число a 2 имеет две верные цифры: 3, 7. Округляем число a до двух значащих цифр: . Тогда Так как , то две оставшиеся цифры результата верны в узком смысле. Таким образом, б) Представим в виде и найдем примем . Так как , то число a = 4,571 имеет три верные в широком смысле цифры: 4, 5, 7. Округляем число a до трех значащих цифр: . Тогда Так как , то три оставшиеся цифры результата верны в широком смысле. Таким образом, . Ответ: а) , ; б) , №2 Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции f (x ) с заданными узлами xk (k = 0, 1, 2, 3) Решение Прежде всего, заметим, что Применяя формулу (3) при n = 3, получим: Ответ: №3 Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y = ax + b по данным опыта, представленным таблицей х 1 2 3 4 5 у 1,8 1,3 3,3 4,8 3,8 Решение Результаты предварительных вычислений вносим в таблицу 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1,8 1,3 3,3 4,8 3,8 1,8 2,6 9,9 19,2 19 1 4 9 16 25 15 15 52,5 55 Нормальная система уравнений принимает вид Следовательно, искомая эмпирическая формула Ответ: №4 Вычислить данный интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака. Решение Определяем значения подынтегральной функции при для следующих значений аргумента Находим соответствующие значения функции : Тогда получаем Ответ: №5 Отделить корни данного уравнения аналитически и уточнить больший из них методом Ньютона с точностью до Решение Отделим корни данного уравнения аналитически. Находим Составляем таблицу знаков функции - + - + Уравнение имеет три действительных корня: Уменьшим отрезки, содержащие корни, до длины, равной 1 -3 -2 0 1 2 3 - + + - - + Значит, Уточним больший корень заданного уравнения методом Ньютона. Имеем при . Поэтому для использования метода Ньютона выбираем , причем . Все вычисления сводим в таблицу 0 1 2 3 4 3 2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 67 15,4003 2,1721 0,0765 -0,0005 103 57,3388 41,4471 38,5488 38,4394 0,651 0,267 0,0524 0,0020 0 2,3495 2,0809 2,0285 2,0265 2,0265 Искомый корень Ответ: №6 Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения данного дифференциального уравнения y ’ = f (x , y ), удовлетворяющего начальному условию y (1) = 0, на отрезке [1; 1,05] с шагом h = 0,01. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой Решение Находим последовательные значения аргумента Обозначим Для удобства вычислений составим таблицу 0 1 2 3 4 5 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 0 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 1 0,9907 0,9824 0,9750 0,9686 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 Таким образом, имеем следующую таблицу х 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 у 0 0,01 0,0199 0,0297 0,0395 0,0491 Ответ: