Введение в стереометрию на тему: «Введение в стереометрию» I .Основные аксиомы стереометрии В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три. Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение: · Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1) Рис. 1 Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости : · Через любые три точки проходит плоскость. С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые. Аксиома пересечения плоскостей звучит так: · Рис. 2 Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая. · (рис.2) Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная. Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы. Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства. В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости. β α Рис. 3 B A . . .C l Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А ,В и С можно провести плоскостьβ . Она отлична от плоскости α , так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит,β пересекается сα по прямой, которой, как и l , принадлежат А , В . По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l . Но эта линия лежит в плоскости α , что и требовалось доказать. Путем несложных доказательств мы находим, что: · На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии. II . Прямые, плоскости, параллельность. Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве: · Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной. Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности: · Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу. Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются. B¹ A¹ C¹ D¹ D А На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD со­держащих их квадратов. С В Рис. 4 В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две пло­скости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности: · Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой. · Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу. Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости: · Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости. А вот признак параллельности плоскостей: · Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны. Часто используется и такая простая теорема: · Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.