Контрольная по теории вероятности МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения №1 По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики" Воронеж 200 4 г. Вариант – 9. Задача № 1. №№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р1 , второй – с вероятностью р2 , третий – с вероятностью р3 . Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице). p­ ­1 =0,4 p2 =0,6 p3 =0,9 Решение: Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел, тогда - первый узел был исправен в промежуток времени t , - был исправен второй узел, - был исправен третий узел. а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому , учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей имеем: б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда: в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда: События несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим: г) Пусть событие D1 – хотя бы один узел стал неисправным, тогда: . Задача № 2 №39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ? Решение: Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие - искажение при передаче символа А, событие и - искажения при передаче символов В и С соответственно. По условию вероятности этих событий равны: , , , , Если события , и - искажения при передаче символов, то события , и - отсутствие искажений при передаче. Их вероятности: Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений. Можно выдвинуть следующие гипотезы: Н1 – переданы символы АА, Н2 – символы АВ, Н3 – символы ВА, Н4 – символы АС, Н5 – символы СА, Н6 – символы ВВ, Н7 – символы ВС, Н8 – символы СВ, Н9 – символы СС. Вероятности этих гипотез: Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез будут: По формуле Бейеса вычислим условную вероятность с учетом появления события Р : Задача № 3 №№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см. исходные данные в таблице). n=5 k=4 p=0,8 Решение: Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли: , где число сочетаний из п элементов по k , q=1- p . В рассматриваемом случае: а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях: б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях: в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях: г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях: Задача № 4 №№ 61-80. Дана плотность распределения f( x) случайной величины Х. Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М[Х], дисперсию D[ X], вероятность выполнения неравенства х1 < x< x2 , построить график функции распределения F( x). Решение: Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения: , так как при плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид: или , откуда ; Функция распределения связана с функцией плотности соотношением: Откуда получим: Математическое ожидание и дисперсию определим по формулам: Вероятность выполнения неравенства <x< определим по формуле: Р( < x< )= F( ) – F( )= Задача №5 №№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение (см. исходные данные в таблице). a = 10 b = 22 a = 8 s = 6 Решение: Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой: Здесь - функция Ломпаса, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим: