Математическая модель системы в переменных пространства состояний МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид , (2.1.1) (2.1.2) где мерный вектор параметров состояний; мерный вектор управляющих воздействий; мерный вектор возмущающих воздействий; l- мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности ; В – матрица управлений размерности ; Г – матрица возмущений размерности ; С – матрица выходов размерности l n; D – матрица компенсаций (обходов) размерности lm. Решение векторного дифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид: , (2.1.3) где - экспоненциал матрицы А. Подставляя выражение (2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы в переменных «вход – выход». Рассмотрение движения системы в переменных пространства состояний связано с трудностью решения дифференциальных уравнений n-го порядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошо разработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. 2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 2.2.1 Определить переходные процессы в системе (2.2.1) , (2.2.2) под действием ступенчатых воздействий по каналам управления и возмущения . Решение В соответствии с выражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральной форме . (2.2.3) Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0 =0, представим выражение (2.2.3) в виде . (2.2.4) Для нахождения экспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения , то есть и . Так как корни различные действительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен . (2.2.5) Подставляя выражения (2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем = . Следовательно, уравнение движения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид: . УСТОЙЧИВОСТЬ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ Устойчивость или неустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободным движением ( ), которое характеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристического уравнения (3.1.1) Линейная система (2.1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных (характеристических) чисел λj =λj (A) (j=1,…,n) имеют неположительные значения, т.е. Reλj . Если Reλj <0, то система асимптотически устойчива. Характеристическое уравнение (3.1.1) можно записать в виде  n  n -1 n n 0. (3.1.2) Условия устойчивости для системы n-го порядка записываются в виде определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения (3.1.2). . Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0 >0 были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть ΔI >0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица Δn =αn Δn -1 (3.1.3) при Δn -1 >0 сводится к положительности свободного члена αn характеристического уравнения. 3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 3.2.1 Определить устойчивость и характер свободного движения динамической системы, заданной в пространстве состояний векторными уравнениями , (3.2.1) . (3.2.2) Решение. Запишем для системы (3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1) , (3.2.3) решение которого дает следующие корни: . Рассматриваемая динамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носит апериодический сходящийся характер, так как вещественные части корней характеристического уравнения отрицательные. Задача 3.2.2 Определить устойчивость динамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричными уравнениями , , (3.2.4) . (3.2.5) Решение. Запишем для системы (3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1) . (3.2.6) Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение: . (3.2.7) Устойчивость системы будем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составив для этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица . (3.2.8) Для устойчивости линейной системы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительности коэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3 равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi >0 (i=1,2,3) , . В соответствии с вышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения (3.2.7) равный 54 - положительный. Следовательно, система (3.2.4) является устойчивой. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Lc размерности равен n, то есть rank n, (4.1.1) где . (4.1.2) Если rank <n, то система будет частично управляемой, а при rank =0 – полностью неуправляемой. Управляемость системы (2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости размерности равен l то есть rank =l, (4.1.3) где . (4.1.4) Если rank <l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rank =0 – полностью неуправляемой. Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4) соответствует размерности вектора состояний. 4.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 4.2.1 Определить управляемость динамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями , (4.2.1) . (4.2.2) Решение. В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2 . Найдем произведение матриц . Следовательно, матрица управляемости имеет вид , и ее ранг rank 2, то есть настоящая система полностью управляема по состояниям. Задача 4.2.2 Определить управляемость по выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями , . Решение. В соответствии с выражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2 . Найдем произведение матриц . . Следовательно, матрица управляемости имеет вид , и ее ранг rank =2, то есть настоящая система полностью управляема по выходам. 5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ Наблюдаемость системы (2.1.1), (2.1.2) определяется теоремой (критерием) Калмана: система будет вполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости L0 размерности равен n, то есть rank n, (5.1.1) где . (5.1.2) Если rank <n, то система будет не вполне наблюдаемой, а при rank =0 – полностью ненаблюдаемой. 5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 5.2.1 Определить наблюдаемость динамической системы, заданной векторными уравнениями . Решение. В соответствии с выражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состояний n=2 . Найдем произведение матриц . Следовательно, матрица наблюдаемости имеет вид , и ее ранг rank