Решение нелинейных уравнений методом простых итераций МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ на тему: «Решение нелинейных уравнений методом простых итераций» Выполнил:. Бубеев Б.М. Проверил: Ширапов Д.Ш. Улан-Удэ 2011 г. Введение Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы: 1. точные методы ; 2. итерационные методы . Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Пусть дано уравнение (1) где: 1. Функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка. 2. Значения f (x ) на концах отрезка имеют разные знаки (f (a ) * f (b ) < 0). 3. Первая и вторая производные f' (x ) и f'' (x ) сохраняют определенный знак на всем отрезке. Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b ] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f (x ) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным. Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью. Всякое значение , обращающее функцию f (x ) в нуль, т.е. такое, что: называется корнем уравнения (1) или нулем функции f (x ). Задача нахождения корня уравнения f (x ) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов: 1. отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка; 2. уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности. Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x ) в граничных x = a и x = b точках области ее существования. Пример 1. Отделить корни уравнения: f (x ) º x 3 - 6х + 2 = 0. (2) Составим приблизительную схему: x -¥ -3 -1 0 1 3 +¥ f(x) - - + + - + + Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3]. Приближенные значения корней (начальные приближения ) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f (x ) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x ) и отметить точки пересечения f (x ) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением: , (3) где функции f 1 (x ) и f 2 (x ) - более простые, чем функция f (x ). Тогда, построив графики функций у = f 1 (x ) и у = f 2 (x ), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. Рисунок 2. Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2): x lg x = 1. (4) Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства: lg x= . Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3]. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0 . Каждый такой шаг называется итерацией . В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1 , х 2 , ..., хn . Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится . Метод простой итерации Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f (х ) = 0 заменяется равносильным уравнением x = j(x ). (8) Пусть известно начальное приближение корня х = х 0 . Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение: х 1 = j(х 0 ). Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений: (9) Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х ). Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х ) с прямой у = х (Рисунок 6, а ). Рисунок 6. Отправляясь от некоторой точки А 0 [x 0 , j (x 0 )], строим ломаную А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 ... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу , вершины А 0 , А 1 , А 2 , ... лежат на кривой у= j (х ), а вершины В 1 , В2 , В 3 , …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А 1 и В 1 , А 2 и В 2 , ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х 1 , х 2 , ... корня . Возможен также другой вид ломаной А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 ... - “спираль” (Рисунок 6, б ). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х ) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х ) отрицательна. На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х ) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7). Рисунок 7. Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса. Теорема: Пусть функция j (х ) определена и дифференцируема на отрезке [a, b ], причем все ее значения j (х ) [a , b ]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что q < 1 при a < x < b, то: 1) процесс итерации сходится независимо от начального значени я х 0 I [a , b ]; 2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х ) на отрезке [a, b ]. Пример 5. Уравнение f (x ) = x 3 - x - 1 = 0 (10) имеет корень x [1, 2], так как f (1) = - 1 < 0 и f (2) = 5 > 0. Уравнение (10) можно записать в виде х = х 3 - 1. (11) Здесь j (х ) = х 3 - 1 и j' (х ) = 3х 2 ; поэтому j' (х ) 3 при 1 х 2 и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены. Если записать уравнение (10) в виде (12) то будем иметь: . Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется. Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10-2 . Вычисляем последовательные приближения хn с одним запасным знаком по формуле Найденные значения помещены в Таблицу 1: Таблица 1 Значения последовательных приближений xi. i 0 1 2 3 4 xi 1 1,260 1,312 1,322 1,3243 С точностью до 10-2