Регрессионный анализ. Транспортная задача Регрессионный анализ Задача Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время доставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл.). Расстояние, км 3,5 2,4 4,9 4,2 3,0 1,3 1,0 3,0 1,5 4,1 Время, мин 16 13 19 18 12 11 8 14 9 16 Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченным временем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз поездки на 2 км. Решение Для расчёта стоимости услуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1): t y(t) расстояние. время 1 3,50 16,00 12,25 56,00 256,00 15,22 2,63 2 2,40 13,00 5,76 31,20 169,00 12,30 1,70 3 4,90 19,00 24,01 93,10 361,00 18,95 28,58 4 4,20 18,00 17,64 75,60 324,00 17,08 12,14 5 3,00 12,00 9,00 36,00 144,00 13,89 0,09 6 1,30 11,00 1,69 14,30 121,00 9,37 17,88 7 1,00 8,00 1,00 8,00 64,00 8,57 25,27 8 3,00 14,00 9,00 42,00 196,00 13,89 0,09 9 1,50 9,00 2,25 13,50 81,00 9,90 13,67 10 4,10 16,00 16,81 65,60 256,00 16,82 10,36 сумма 28,9 136,0 99,4 435,3 1 972,0 136,0 112,4 13,60 a1 = 2,66 a0 = 5,91 r2 = 0,92 91,83% 8,17 Рис .1 - График исходных данных Вывод: существует сильная связь между исходными данными. Задача В таблице приведены данные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последний год (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде и удобрениях. Месяц Объем собранного урожая Факторы, влияющие на урожай Электроэнергия, кВт Удобрения, тонн Вода, литр t y x 1 x 2 x 3 январь 140 165 138 134 февраль 138 164 139 128 март 158 158 157 168 апрель 144 159 142 147 май 142 148 144 146 июнь 134 152 136 140 июль 122 143 122,5 132 август 125 146 128 135 сентябрь 124 148 119 125 октябрь 138 150 142 126 ноябрь 157 156 159 143 декабрь 161 160 164 150 Необходимо определить степень влияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этого необходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии, проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) и сделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходных данных). Решение Строим графики исходных данных (рис. 2, 3): Рис. 2 - График зависимости урожая от удобрения Рис. 3 - График зависимости урожая от воды Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости: Численные коэффициенты функции регрессии X1 i Y i X1 i І X1 i Y i Y i І Y i p (Y i p -y)І (Y i -y)І 165 140 27225 23100 19600 152,5778 151,9747 0,0625 164 138 26896 22632 19044 151,4485 125,4073 5,0625 158 158 24964 24964 24964 144,673 19,56251 315,0625 159 144 25281 22896 20736 145,8022 30,82711 14,0625 148 142 21904 21016 20164 133,3803 47,19267 3,0625 152 134 23104 20368 17956 137,8974 5,534888 39,0625 143 122 20449 17446 14884 127,734 156,6506 333,0625 146 125 21316 18250 15625 131,1218 83,32442 232,5625 148 124 21904 18352 15376 133,3803 47,19267 264,0625 150 138 22500 20700 19044 135,6388 21,26283 5,0625 156 157 24336 24492 24649 142,4144 4,684729 280,5625 160 161 25600 25760 25921 146,9315 44,64219 430,5625 1849 1683 285479 259976 237963 738,2566 1922,25 Среднее значение 140,25 Коэффициент детерминации r2 =0,384059. Коэффициент детерминации низкий поэтому модель не адекватна. Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы: Численные коэффициенты функции регрессии X2 i Y i X2 i І X2 i Y i Y i І Y i p (Y i p -y)І (Y i -y)І 138 140 19044 19320 19600 137,5802 7,127725 0,0625 139 138 19321 19182 19044 138,5088 3,031641 5,0625 157 158 24649 24806 24964 155,224 224,2202 315,0625 142 144 20164 20448 20736 141,2947 1,091391 14,0625 144 142 20736 20448 20164 143,1519 8,421225 3,0625 136 134 18496 18224 17956 135,723 20,49389 39,0625 122,5 122 15006,25 14945 14884 123,1866 291,1588 333,0625 128 125 16384 16000 15625 128,294 142,9452 232,5625 119 124 14161 14756 15376 119,9365 412,64 264,0625 142 138 20164 19596 19044 141,2947 1,091391 5,0625 159 157 25281 24963 24649 157,0812 283,29 280,5625 164 161 26896 26404 25921 161,7243 461,1463 430,5625 1690,5 1683 240302,3 239092 237963 1856,658 1922,25 Среднее значение 140,25 Коэффициенты регрессии — сдвиг а0 и наклон а1 прямой у: a0= 9,430782 a1= 0,928619 Коэффициент детерминации r2 =0,965877. Коэффициент детерминации высокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз. Прогноз на три шага вперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2. Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы: Численные коэффициенты функции регрессии X 3i Y i X 3i І X 3i Y i Y i І Y i p (Y i p -y)І (Y i -y)І 134 140 17956 18760 19600 135,8979 18,94079 0,0625 128 138 16384 17664 19044 131,1502 82,80727 5,0625 168 158 28224 26544 24964 162,8018 508,5838 315,0625 147 144 21609 21168 20736 146,1847 35,22048 14,0625 146 142 21316 20732 20164 145,3934 26,4545 3,0625 140 134 19600 18760 17956 140,6456 0,156535 39,0625 132 122 17424 16104 14884 134,3153 35,22048 333,0625 135 125 18225 16875 15625 136,6892 12,67937 232,5625 125 124 15625 15500 15376 128,7763 131,6463 264,0625 126 138 15876 17388 19044 129,5676 114,1144 5,0625 143 157 20449 22451 24649 143,0195 7,670238 280,5625 150 161 22500 24150 25921 148,5586 69,03215 430,5625 1674 1683 235188 236096 237963 1042,526 1922,25 Среднее значение 140,25 Коэффициенты регрессии — сдвиг а0 и наклон а1 прямой у: a0= 29,86486 a1= 0,791291 Коэффициент детерминации r2 =0,542347. Коэффициент детерминации низкий, поэтому модель не адекватна. Задача Санаторный комплекс ежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С1 . Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня также выпекает хлеб сорта С2 , который пускает в свободную продажу. В таблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 С1 1 2,3 1,5 0,5 4 5 2 3,5 1 4,5 2,5 1,5 С2 9 6,5 8,1 8,7 4 0,2 7,6 5 8,7 2 7 8,4 Проанализируйте график исходных данных и постройте регрессионную модель функции производственных возможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогноз выпуска хлеба С2 , если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С1 3 тысячи булок. Решение Рис. 4 - График исходных данных Суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощью таблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количества электроэнергии. x y x2 xy yp (yp -ycp )2 (y-ycp )2 1 9 1 9 8.981453 7.370065 7.471111 2.3 6.5 5.29 14.95 6.533438 0.071167 0.054444 1.5 8.1 2.25 12.15 8.039909 3.144387 3.361111 0.5 8.7 0.25 4.35 9.922997 13.36875 5.921111 4 4 16 16 3.332187 8.611173 5.137778 5 0.2 25 1 1.449098 23.20897 36.80444 2 7.6 4 15.2 7.098364 0.691721 1.777778 3.5 5 12.25 17.5 4.273731 3.971792 1.604444 1 8.7 1 8.7 8.981453 7.370065 5.921111 4.5 2 20.25 9 2.390642 15.02356 18.20444 2.5 7 6.25 17.5 6.15682 0.012066 0.537778 1.5 8.4 2.25 12.6 8.039909 3.144387 4.551111 å=29.3 å=75.2 å=95.79 å=137.95 å=85.98811 å=91.34667 Находим коэффициенты регрессии — сдвиг а0 и наклон а1 прямой у: a0= 10,86454 a1= -1,88309 Коэффициент детерминации r2 =0,941338. Коэффициент детерминации высокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз. Если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С1 3 тысячи булок, то прогноз С2 =-1,88309*3000+10,86454=5215,7. Транспортная задача Задача Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт. D E А 80 215 В 100 108 С 102 68 Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны. Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»: ; Получаем: Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт D Е V Издержки А 80 215 1000 В 100 108 1300 С 102 68 1200 Спрос 2300 1400 291600 Продукция D Е Сумма А 1000 0 1000 В 1300 0 1300 С 0 1200 1200 Y 0 200 200 Сумма 2300 1400 Задача Постройте транспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей за квартал. Решение Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»: ; Получаем: Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт D Е F V Издержки А 80 215 0 1000 В 100 108 0 1500 С 102 68 0 1200 Спрос 1900 1400 400 273200 Продукция D Е F Сумма А 1000 0 0 1000 В 900 200 400 1500 С 0 1200 0 1200 Сумма 1900 1400 400 Задача Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВт×ч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВт×ч. Цены за миллион кВт-ч в данных городах приведены в табл. 4.4. Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч Города 1 2 3 Станция 1 600 700 400 2 320 300 350 3 500 480 450 В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВт-ч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели. Решение Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»: ; Получаем: Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч Города Издержки 1 2 3 Мощность Станция 1 600 700 400 25 2 320 300 350 40 3 500 480 450 30 4 1000 1000 10000 12 Потребление 36 42 29 48570 Города 1 2 3 Сумма Станция 1 0 0 25 25 2 24 16 0 40 3 0 26 4 30 4 12 0 0 12 Сумма 36 42 29 Задача Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие: Решение Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл. Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла Пункты отправления, Пункты потребления, Запасы, ед. продукции 125 5 85 8 1 2 210/85/0 2 5 5 130 4 35 9 170/165/35/0 9 2 3 65 1 65/0 Потребность, ед. продукции 125/0 90/5/0 130/0 100/65/0 Опорный план , найденный методом северо-западного угла [ед.товара] Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку) [руб.]. Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента Пункты отправления, Пункты потребления, Запасы, ед. продукции