Передаточные функции одноконтурной системы Практическая работа № 1 1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости. Оценить устойчивость каждого из звеньев. а) ; б) . 2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение: . 1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде: . Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид: 1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s). Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки: Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s). Отсюда получено: . Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1. Рис.1 Рис. 2 Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением: A(s) = . Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого: , и . Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив. б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде: . Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y , x и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид: 2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s). Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки: Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s). Отсюда получено: . Если обозначить передаточные функции объекта как и , то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3. Рис. 3 Характеристическая функция имеет вид: , а характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения равны: и . Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4: Рис. 4. Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив. 2. Дана передаточная функция вида: Зная, что по определению, , получим: , тогда: . Раскрывая скобки: Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение: . Практическая работа № 2 Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить: - передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s), - характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС), - передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке, - коэффициенты усиления АСР, - устойчивость системы. Р - ПИ-регулятор с ПФ вида ; дифференциальное уравнение объекта управления: . Определим передаточную функцию объекта: W об( s ) . Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: Характеристическое выражение замкнутой системы: ; Передаточные функции замкнутой системы: - по заданию; - по ошибке; - по возмущению. По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0: К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию; КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке; Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению. Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица. Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид: Диагональные миноры матрицы равны соответственно: Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой. Практическая работа № 3 По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование. DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек t, мин 0 20 50 80 110 140 170 200 230 260 D Y 0 0,009 0,032 0,060 0,089 0,116 0,130 0,141 0,149 0,149 Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5: Рис. 5. Переходная характеристика. Установившееся значение выходной величины составляет: ; Коэффициент усиления равен: ; Постоянная времени равна: . Для процесса с 20 % перерегулированием ПИД-регулятора, его настройки: ; ; . Практическая работа № 4 Дана одноконтурная АСР. Требуется определить: · передаточные функции регулятора и объекта управления, · передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s), · характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС), · передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке, · коэффициенты усиления АСР, · примерный вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению, · устойчивость системы. Структурная схема АСР: W1(s): ; W2(s): ; K1 = 1,2; K0 = 1,0; K = 1,0 · Передаточная функция регулятора: . · Передаточная функция объекта управления: . Определим операторные уравнения звеньев объекта управления: для этого обозначим Y(s) и U(s) как изображения сигналов соответственно y и u , тогда операторные уравнения примут вид: W1(s): sY(s) = 2U(s); W2(s): 2s2Y(s)+sY(s)+4Y(s)=7U(s). Данные уравнения можно преобразовать, вынеся Y(s) и U(s) за скобки: W1(s): sY(s) = 2U(s); W2(s): Y(s)·(2s2+s+4)=7U(s). Отсюда получено: W1(s): Y ( s ) = W2(s): Y(s) = . Тогда: . Передаточная функция объекта управления: · Передаточная функция разомкнутой системы: · Характеристическое выражение замкнутой системы: · передаточные функции замкнутой системы Ф3(s) – по заданию: ФЕ(s) – по ошибке: ФВ(s) – по возмущению: При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу. Тогда: . · По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0: К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию; КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке; Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению. · Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица. Так как коэффициенты ХВЗС (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид: Диагональные миноры матрицы равны соответственно: Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой. · Определим вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению: а) По заданию: Корни знаменателя: Изображение разбивается на сумму дробей: . Тогда оригинал y (t), согласно таблицам, имеет вид: y (t) = y 0 + y 1,2(t) + y 3,4(t) = + ; где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 - действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно. C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно. Для корня s0 = 0: ; Для корней : = ; Для корней : ; Тогда: Получим оригинал: б) По ошибке: Корни знаменателя: Изображение разбивается на сумму дробей: . Тогда оригинал y (t), согласно таблицам, имеет вид: y (t) = y 1,2(t) + y 3,4(t) = + ; где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 - действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно. C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно. Для корней : Для корней : ; Тогда: Получим оригинал: в) По возмущению: Корни знаменателя: Изображение разбивается на сумму дробей: . Тогда оригинал y (t), согласно таблицам, имеет вид: y (t) = y 1,2(t) + y 3,4(t) = + ; где a1,2, α3,4 и w1,2, w3,4 - действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно. C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 – действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно. Для корней : Для корней : ; Тогда: Получим оригинал: