Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.20 Задача 20 . Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1). 20.1. y'= e-x^2/2 -x2 e-x^2/2 = e-x^2/2 (1-x2 ) xe-x^2/2 (1-x2 )=xe-x^2/2 (1-x2 ) Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.2. y'= (xcosx-sinx)/x2 (xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx cosx=cosx Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.3. y'= -10e-2 x +ex /3 -10e-2x +ex /3+10e-2x +2ex /3=ex ex =ex Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.4. y'= -cx/√(1-x2 ) -cx(1-x2 )/√(1-x2 )+2x+cx√(1-x2 )=2x 2x=2x Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.5. y'= √(1-x2 )-x2 /√(1-x2 )= (1-2x2 )/√(1-x2 ) x √(1- x 2 )(1-2 x 2 ) = x-2x3 √(1-x2 ) x-2x3 = x-2x3 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.6. y'= c*tgx/cosx c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0 0=0 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.7. y'= 3/(3x+c)2 3/(3x+c)2 =3/(3x+c)2 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.8. y'= ex /(c+ex ) ex /(c+ex )= ex /eln(c+e^x) ex /(c+ex )=ex /(c+ex ) Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.9. dy= (2x-c)dx/(2√(x2 -cx)) (x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2 -cx))=0 0=0 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.10. dy= (cx-xlnx+1)dx (x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0 0=0 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.11. y'= etgx/2 /(2cos2 x/2)= etgx/2 /(cosx+1) sinx*etgx/2 /(cosx+1)= etgx/2 lnetgx/2 tgx/2= tgx/2 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.12. y'= (1-x+1+x)/(1-x)2 =2/(1-x)2 2/(1-x)2 = 1-2 x + x 2 +1+2 x + x 2 (1-x)2 (1+x) 2/(1-x)2 =2/(1-x)2 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.13. y'= 1-b2 (1-bx)2 b+x – x( 1-b2 ) = b + x2 ( 1-b2 ) 1+bx (1-bx)2 (1-bx)2 b + x 2 (1-b2 )=b + x 2 (1-b2 ) (1-bx)2 (1-bx)2 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.14. y'= 1-2x _ 3 √(2+3x-3x2 )2 (1-2x) 3 √(2+3x-3x2 ) = 1-2x _ 3 √(2+3x-3x2 )2 3 √(2+3x-3x2 ) 1-2x _ = 1-2x _ 3 √(2+3x-3x2 ) 3 √(2+3x-3x2 ) Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.15. y'= 4ex = ex _ 4(1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1) (1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1) ex (1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1) = ex (1+ex )√(ln((1+ex )/2)2 +1) ex =ex Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.16. dy= 3dx _ 3xcos2 ln3x (1+tg2 ln3x)dx = 3xdx _ 3xcos2 ln3x dx/cos2 ln3x= dx/cos2 ln3x Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.17. y'= 2/(x3 √(2/x2 -1)) 1+2/x2 -1- 2x√(2/x2 -1)/(x3 √(2/x2 -1))=0 0=0 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.18. y'= x-1 _ 3x√(x-lnx-1)2 lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2 = 0 3x√(x-lnx-1)2 0=0 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.19. y'= 7/(ax+1)2 a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2 = a(1+7x2 /(ax+1)2 ) a(1+7x2 /(ax+1)2 )= a(1+7x2 /(ax+1)2 ) Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.20. y'= -a2 _ 2x2 √(a/x-1)cos2 √(a/x-1) a2 +a2 tg2 √(a/x-1)- 2a2 x√(ax-x2 ) = 0 2x2 √(a/x-1)cos2 √(a/x-1) a2 /cos2 √(a/x-1) – a2 /cos2 √(a/x-1)=0 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.21. y'= 1 _ 8 4 √(√x+√(x+1)) 8x _ 4 √(√x+√(x+1)) = -1 _ 8 4 √(√x+√(x+1)) 4 √(√x+√(x+1))3 √(x+1) -1 _ = -1 _ 4 √(√x+√(x+1))3 √(x+1) 4 √(√x+√(x+1))3 √(x+1) Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.22. y'= ex^2 (1+2x2 +2x) ex^2 (1+2x2 +2x) – 2xex^2 (1+x)=2xex^2 2xex^2 =2xex^2 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.23. y'= 2x2 -4x5 -x6 -2x3 -1 x2 (x3 +1)2 x(x3 +1)( 2x2 -4x5 -x6 -2x3 -1) + (2x3 -1)(2x2 +1) = x3 -2 x2 (x3 +1)2 x(x3 +1) x x3 -2 = x3 -2 x x Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.24. y'= (1+2x)ex+x^2 +2ex (1+2x)ex+x^2 +2ex - ex+x^2 +2ex = 2xex+x^2 2xex + x ^2 =2xex + x ^2 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.25. y'= -cosx-xsinx+3 -xcosx+x2 sinx+3x = -xcosx+3x+ x2 sinx Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.26. y'= -cosx-1 _ 2√(sinx+x)3 -2sinx(cosx+1) + cosx = xcosx-sinx 2√(sinx+x)3 √(sinx+x) √(sinx+x)3 xcosx-sinx = xcosx-sinx √(sinx+x)3 √(sinx+x)3 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.27. y'= 2 x 3 -4 x 2 +2 x -1 (x-1)2 x ( x -1)(2 x 3 -4 x 2 +2 x -1) + x/(x-1)+x2 = x2 (2x-1) (x-1)2 x2 (2x-1)= x2 (2x-1) Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.28. y'= (cosx+xsinx)/cos2 x (cosx+xsinx)/cos2 x-xtgx/cosx = secx 1/cosx=secx secx= secx Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.29. y'= n(x+1)n-1 (ex -1)+(x+1)n ex n(x+1)n-1 (ex -1)+(x+1)n ex - n(x+1)n (ex -1)/(x+1) = (x+1)n ex (x+1)n ex =(x+1)n ex Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.30. y'= 2xcosx-2sinx-x2 sinx x2 xsinx(2xcosx-2sinx-x2 sinx) + (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx) = sinxcosx-x x2 x sinxcosx-x= sinxcosx-x Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1). 20.31. y'= 2x-4x3 = 1-2x2 2√(x4 -x2 ) √(x2 -1) -x√(x4 -x2 )( 1-2x2 ) - x4 +x2 = x4 √(x2 -1) x4 = x4 Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).