Вычисление вероятности 1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный. Вероятность события А найдем используя условную вероятность. = 0,278 – вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности. – вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности. Ответ: 0,278. 2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход. Решение. Пусть событие состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход. , где – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии. Т.к. события - независимые совместные события. Ответ: 0,994. 3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту. Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту. Гипотезы Н1 , Н2 , Н3 . – деталь изготовлена на первом станке; – деталь изготовлена на втором станке; – деталь изготовлена на третьем станке; Гипотезы Нi образуют полную группу событий. Воспользуемся формулой полной вероятности: – полная вероятность. = ; =; = ; =; =0,45; = ; Тогда . = 0,015. Ответ: 0,0,015. 4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6? Решение. Найдем – наиболее вероятное число выпадений 6. Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства: ; – вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию. ; Так как – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно . Ответ: 2. 5. Задача 5. Дискретная случайная величина может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения. Решение. Таблица 1. 1 4 5 7 8 0,3 0,3 0,1 0,15 0,15 Найдем числовые характеристики данного распределения. Математическое ожидание = 4,25 Дисперсию определим по формуле: . = 24,55. Тогда Найдем функцию распределения случайной величины. . Построим график этой функции 6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0; ] Решение. Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то . Вычислим определенный интеграл: . Следовательно, , . Математическое ожидание найдем по формуле: . Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то = = = = . Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям. Найдем дисперсию , т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то . = . Найдем . Воспользуемся формулой = . = Найдем функцию распределения СВ Х. При . При . При . 7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности . Решение. Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале , вне этого интервала . Построим график функции на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы: ; ; Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов . На интервале одна обратная функция , следовательно На интервале две обратных функции и , следовательно . Найдем производные обратных функций ; . Учитывая, что , получим ; . В результате получим: . Таким образом, плотность вероятности величины равна: 8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В: Вычислить коэффициент корреляции между величинами и . Решение. Построим область Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим = . Следовательно, . Значит, Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле Корреляционный момент вычислим по формуле . . . . Определим корреляционный момент Ответ: 9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины 1. Получить вариационный ряд; 2. Построить гистограмму равноинтервальным способом; 3. Построить гистограмму равновероятностным способом; 4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии; 5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ( ) 0,22 0,42 0,07 1,69 0,42 0,94 1,81 2,24 0,74 0,75 0,80 2,59 0,55 0,43 0,51 0,38 1,41 0,73 0,03 0,96 0,63 0,17 0,10 0,09 1,09 1,52 2,97 0,91 1,53 0,55 1,23 1,27 0,75 1,55 0,88 0,57 0,31 1,04 1,71 1,39 1,16 0,86 1,13 0,82 2,02 1,17 0,25 0,64 0,07 0,11 1,99 0,71 2,17 0,23 2,68 1,82 1,19 0,05 1,23 4,70 0,37 0,40 1,31 0,20 0,50 2,48 0,32 1,41 0,23 1,27 0,33 1,48 0,52 0,68 0,30 0,40 0,24 1,52 0,17 0,17 0,83 1,20 0,65 0,05 1,45 0,23 0,37 0,09 3,66 0,28 0,77 0,11 1,95 0,10 0,95 0,65 4,06 3,16 0,51 2,02 Решение. Найдем размах вариации . 0,03; 4,70; 4,70–0,03 = 4,67. Вариационный ряд распределения имеет вид: 0,03 1 0,86 1 0,05 2 0,88 1 0,07 2 0,91 1 0,09 2 0,94 1 0,1 2 0,95 1 0,11 2 0,96 1 0,17 3 1,04 1 0,2 1 1,09 1 0,22 1 1,13 1 0,23 3 1,16 1 0,24 1 1,17 1 0,25 1 1,19 1 0,28 1 1,2 1 0,3 1 1,23 2 0,31 1 1,27 2 0,32 1 1,31 1 0,33 1 1,39 1 0,37 2 1,41 2 0,38 1 1,45 1 0,4 2 1,48 1 0,42 2 1,52 2 0,43 1 1,53 1 0,5 1 1,55 1 0,51 2 1,69 1 0,52 1 1,71 1 0,55 2 1,81 1 0,57 1 1,82 1 0,63 1 1,95 1 0,64 1 1,99 1 0,65 2 2,02 2 0,68 1 2,17 1 0,71 1 2,24 1 0,73 1 2,48 1 0,74 1 2,59 1 0,75 2 2,68 1 0,77 1 2,97 1 0,8 1 3,16 1 0,82 1 3,66 1 0,83 1 4,06 1 4,7 1 Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле . Длина частичного интервала вычисляется по формуле . Полученные значения запишем в таблицу № 1 0,03 0,497 0,467 34 0,34 0,73 2 0,497 0,964 0,467 27 0,27 0,58 3 0,964 1,431 0,467 15 0,15 0,32 4 1,431 1,898 0,467 10 0,1 0,21 5 1,898 2,365 0,467 6 0,06 0,13 6 2,365 2,832 0,467 3 0,03 0,06 7 2,832 3,299 0,467 2 0,02 0,04 8 3,299 3,766 0,467 1 0,01 0,02 9 3,766 4,233 0,467 1 0,01 0,02 10 4,233 4,7 0,467 1 0,01 0,02 Равноинтервальная гистограмма имеет вид: Построим гистограмму равновероятностным способом. № 1 0,03 0,17 0,14 10 0,1 0,7143 2 0,17 0,25 0,08 10 0,1 1,2500 3 0,25 0,42 0,17 10 0,1 0,5882 4 0,42 0,57 0,15 10 0,1 0,6667 5 0,57 0,77 0,2 10 0,1 0,5000 6 0,77 0,96 0,19 10 0,1 0,5263 7 0,96 1,27 0,31 10 0,1 0,3226 8 1,27 1,53 0,26 10 0,1 0,3846 9 1,53 2,17 0,64 10 0,1 0,1563 10 2,17 4,7 2,53 10 0,1 0,0395 Равновероятностная гистограмма имеет вид: Оценку математического ожидания вычислим по формуле 1,00. Оценку дисперсии вычислим по формуле: , 0,82, Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии: В нашем случае 1,00, 0,82, , , . ; Доверительный интервал для математического ожидания . Доверительный интервал для дисперсии , =1,96 ( ). По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону: H0 : H1 : Определим оценку неизвестного параметра Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов Теоретические частоты найдем по формуле № Интервалы [xi ; xi+1 ) 1 0,03 0,497 0,36 36,00 -2,00 4,00 0,1111 2 0,497 0,964 0,23 23,00 4,00 16,00 0,6957 3 0,964 1,431 0,14 14,00 1,00 1,00 0,0714 4 1,431 1,898 0,09 9,00 1,00 1,00 0,1111 5 1,898 2,365 0,06 6,00 0,00 0,00 0,0000 6 2,365 2,832 0,04 4,00 -1,00 1,00 0,2500 7 2,832 3,299 0,02 2,00 0,00 0,00 0,0000 8 3,299 3,766 0,01 1,00 0,00 0,00 0,0000 9 3,766 4,233 0,01 1,00 0,00 0,00 0,0000 10 4,233 4,7 0,01 1,00 0,00 0,00 0,0000 НАБЛ = 1,24 Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0 (x) показательного закона равна Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу. № Интервалы [xi ; xi+1 ) частота в интервале 1 -2,951 7 34 0,34 0,36 0,02 2 -2,513 10 27 0,61 0,59 0,02 3 -2,075 8 15 0,76 0,73 0,03 4 -1,637 12 10 0,86 0,82 0,04 5 -1,199 14 6 0,92 0,88 0,04 6 -0,761 11 3 0,95 0,91 0,04 7 -0,323 9 2 0,97 0,93 0,04 8 0,115 4 1 0,98 0,95 0,03 9 0,553 16 1 0,99 0,96 0,03 10 0,991 9 1 1,00 0,97 0,03 ; . То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении. 10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины 1. Вычислить оценку коэффициента корреляции; 2. Вычислить параметры линии регрессии и ; 3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии; Решение Найдем числовые характеристики величин и . 0,88; 0,10. 1,59; . 1,76; . Корреляционный момент равен: –0,23 Найдем уравнения регрессии где ; Уравнение регрессии имеет вид: . Коэффициент корреляции равен: . Найдем интервальную оценку. . , Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости . Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе . . По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. . Так как – нулевую гипотезу принимаем.