Дифференциальные уравнения Задача №1 Даны вершины треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. А(-7;5), В(5;-4), С(3;10). Решение 1. Расстояние d между точками M1 (x1 ;у1 ) и М2 (х2 ;у2 ) определяется по формуле: Подставив в эту формулу координаты точек А и В имеем: 2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1 ;у1 ) и М2 (х2 ;у2 ), имеет вид: Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ: Для нахождения углового коэффициента kab прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: Отсюда kab = - 3/4. Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС. Для нахождения углового коэффициента kaс прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у: Отсюда kaс = 1/2. 3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2 , определяется по формуле: Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее k1 = kab = -3/4, k2 = kac = 1/2. < А = arctg 2 = 1,11 рад. 4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1 ;у1 ) в заданном угловом коэффициенте k имеет вид: у – у1 = k(х – х1 ).(4) Подставив в формулу (4) координаты точки С и kcd = 4/3, получим уравнение высоты CD: у – 10 = 4/3(х – 3) , у – 10 = 4/3х – 4 , 4х – 3у + 18 = 0. (CD) Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD): Подставив в формулу (1) координаты точек C и D, находим: СD= √(-3 -3)2 + (2 -10)2 = √36 + 64 = 10 . 5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид: (х – а)2 + (у – b)2 = R2 (5) Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим: Следовательно E(0;6) и R = CD/2 = 5. Используя формулу (5), получим уравнение искомой окружности: (х – 0)2 + (у – 6)2 = 25, х2 + (у – 6)2 = 25. 6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В. Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С: 3* 3+ 4*10 +1 = 50 > 0. поэтому искомое неравенство имеет вид: 3х + 4у +1 ≥ 0. Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С: Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 7* (- 7) + 5 – 31 = - 75 < 0. Искомое неравенство будет 7х + у – 31 ≤ 0. Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: 5 – 2(- 4) + 17 = 30 > 0. Третье искомое неравенство х – 2у + 17 ≥ 0. Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств: Задача №2 Даны векторы a1 , a2 , a3 , b . Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе. a1 (5;3;1) , а2 (-2;-1;2) , а3 (-2;1;4) , b(3;0;1) Решение 1. Система векторов в пространстве Rn линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы: Подставив в формулу (1) координаты векторов a1 , a2 , a3 найдем определитель: Так как определитель не равен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственно они образуют базис трехмерного пространства. 2. Вычислим координаты вектора b в новом базисе. А – матрица перехода. b = А * bnew Нам необходимо определить координаты bnew . bnew = A-1 * b(2) Для нахождения обратной матрицы применяется формула Необходимо найти все элементы для составления обратной матрицы: Подставляем полученные элементы в формулу (3) и найдем А-1 : Подставив значения А-1 и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе: Задача №3 Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы: Решение Обозначим через матрицу А – матрицу коэффициенты при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z; H – матрицу-столбец свободных членов: С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = Н(1) Если матрица А – невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1 . Умножив обе части уравнения (1) на А-1 , получим: А-1 * А * Х = А-1 * Н Но А-1 * А = Е (Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому Х = А-1 * Н(2) Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1 . Пусть имеем невырожденную матрицу где Аij (i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (- 1)ij на минор (определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца в определителе матрицы А. Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А. Следовательно матрица А имеет обратную матрицу А-1 . Тогда По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме: Отсюда х = - 1; у = 1; z = 0. Задача №4 Вычислить пределы. Решение а) Подстановка предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида . Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на множитель (х – 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х – 3) отличен от нуля при х →3: б) При х→∞ выражение дает неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно больших при х→∞, можно рассматривать отношение их производных .Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение . в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tg у и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем: г)При х→∞ выражение является неопределенностью вида 1∞ . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела: Тогда имеем: Пусть 3х – 1 = - у . Тогда 6х + 4 = - 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя к переменной у, получим: Задача №5 Найти производные функций: Решение а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем: в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ . 3у2 у′ + еху (у + ху′) = 0, 3у2 у′ + уеху + хеху у′ = 0, Из последующего уравнения находим у′: у′ (3у2 + хеху ) + уеху = 0, Задача №6 Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции. Решение 1. Функция определена при всех значениях аргумента х. 2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (- ∞; ∞). 3. Для установления четности и нечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) – четная функция) или f(-x) = - f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции: Следовательно, f(-х) ≠ f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной. 4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную: у′ = 0 при х1 = - 3, х2 = 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать области определения функции. Разобьем числовую ось на три интервала: (- ∞; - 3), (- 3; 3), (3; ∞). В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin = у(-3) = 0 Значит, А(-3;0) – точка минимума. При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: уmax = у(3) = 2 Значит, В(3;2) – точка максимума. На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции. 5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную: у′′ = 0 при х1 = 0, х2 = - 3√3 , х3 = 3√3. Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3), (-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3 ; ∞). рис.2 На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна – дуга выпукла. При переходе через точки х = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба. Следовательно С(0;1) – точка перегиба графика функции. При переходе через точку х = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 - абсцисса точки перегиба. Следовательно – точка перегиба графика функции. 6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами: Тогда При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя. у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1 Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции. рис. 3 Задача №7 Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием. Решение а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем: Задача №8 Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж. Решение Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле: Подставим в формулу (1) у = 4/х, х1 = 1, х2 = 4, получим: Ответ: объем тела вращения равен 12π