Решение задач по высшей математике Задача 10 Даны матрицы 1 1 2 2 -1 1 1 0 0 А= -2 0 2 В= 3 4 -2 Е= 0 1 0 0 -1 0 1 0 -1 0 0 1 Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е Решение: 2 -1 1 1 1 2 BA= 3 4 -2 · -2 0 2 1 0 -1 0 -1 0 2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0 3•1+4•(-2)+(-2)•0 3•1+4•0+(-2)•(-1) 3•2+4•2+(-2)•0 2•1+(-1)•(-2)+1•0 2•1+(-1)•0+1•(-1) 2•2+(-1)•2+1•0 4 1 2 = -5 5 14 1 2 2 10 -5 5 2 0 0 5В= 15 20 -10 2Е= 0 2 0 АЕ=А, 5 0 -5 0 0 2 1 1 2 т.к. Е – единичная матрица АE = -2 0 2 0 -1 0 10-1+4-2 -5-1+1-0 5-2+2-0 С= 15+2-5-0 20-0+5-2 -10-2+14-0 5-0+1-0 0+1+2-0 -5-0+2-2 11 -5 5 12 23 2 6 3 -5 Задача 20 Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. x + 2y + z = 5 x - y –2z = -1 2x + y + z = 4 Решение: Метод Гаусса. 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 -1 -2 -1 ~ 0 -3 -3 -6 ~ 0 -3 -3 -6 2 1 1 4 0 -3 -1 -6 0 0 2 0 2z = 0, z = 0; -3y -3∙0 = -6, y = 2; x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x = 1. Решение системы {1;2;0} По формулам Крамера: D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов. 1 2 1 Δ= 1 -1 -2 = -1+1-8+2-2+2= -6 2 1 1 5 2 1 Δx = -1 -1 -2 = -5-1-16+4+2+10 = -6 4 1 1 X=Δx /Δ= -6/(-6) = 1 1 5 1 Δy = 1 -1 -2 = -1+4-20+2+8-5 = -12 2 4 1 Y=Δy /Δ= -12/(-6) =2 Z=Δz /Δ= 0/(-6) = 0 1 2 5 Δя = 1 -1 -1 = -4+5-4+10+1-8 = 0 2 1 4 Решение системы {1;2;0} Задача 30 На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5) Найти: - длину стороны АВ - уравнение стороны АВ - уравнение медианы АD - уравнение высоты СЕ - уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ - внутренний угол при вершине А - площадь треугольника АВС - координаты точки Е - сделать чертеж Решение: 1. Длина стороны АВ: ½АВ½= » 5,385 2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: ; ; у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k­­AB = 2/5 3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам. Координаты середины ВС: х4 = (х2 + х3 )/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3 )/2 = 3 D (-3,5;3) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D: ; -5,5у = -16,5 у = 3- уравнение прямой АD 3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3 ёу3 ) и имеющей угловой коэффициент kСЕ , имеет вид: у – у3 = kСЕ (х – х3 ); у – 5 = -2,5(х+4) у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ. 5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3 ёу3 ) и имеющей угловой коэффициент kАВ , имеет вид: у – у3 = kАВ (х – х3 ); у – 5 = х + , у = х + , - уравнение прямой, параллельной АВ. 6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле: , где - длины сторон АВ и АС соответственно. , ÐА = arc cos 0,7643 = 40о 9' 7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле: S = Ѕç(x2 – x1 )(y3 – y1 ) – (x3 – x1 )(y­2 – y1 )ç; S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед. 8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим: у = -2,5х -5 у = 0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5 у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25) Задача 40 Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую. у2 + 2x - 2y -1 = 0 Решение: Выделяем полные квадраты: у2 - 2у +1 + 2х- 2 = 0 (у - 1)2 = -2(х - 1) (х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая у = 1, ветви параболы направлены влево. Задача 50 Вычислить пределы. 1) 2) 3) 4) так как -первый замечательный предел 5) , (a>0) Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a = где -– второй замечательный предел. Задача 60 Найти производные функций: 1) y = y¢ = 2) у = 3) y = y¢ = 4) y = ctg(ex cosx); y¢= Задача 70 Провести полное исследование функции и построить ее график. у = ; Решение: 1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥). 2. Поведение функции на границах области определения: 3. у¢= х3 – х2 = х2 (x-1); у¢= 0, если х1 = 0, х2 = 1; При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает. При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает. В точке х = 0 экстремума нет. При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает. В точке х =1 функция имеет локальный минимум. 4. уmin = 1 /4 - 1 /3 = - 1 /12 . 5. Выпуклость, точки перегиба графика функции: у²= 3х2 – 2х = x(3x-2). у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2 /3 ; При х < 0, у²> 0, график вогнутый. При 0 < х < 2 /3 , у²< 0, график выпуклый. При х > 2 /3 , у²> 0, график вогнутый. Точки х1 = 0 и х2 = 2 /3 - точки перегиба графика функции. у(0) = 0, у(2 /3 ) » -0,05 6. Точки пересечения с осями координат: С осью ОХ. у = 0, = 0 х1 = 0, x2 = 4 /3 С осью ОУ. х = 0, у= 0. Задача 80 Найти частные производные первого и второго порядка функций. z = x2 ∙sin y + y2 ∙cos x; Решение: = . Задача 90 Дана функция . Показать, что Решение: = = = - = 0, что и требовалось доказать. Задача 100 Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1. Решение: 1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области: 3x2 = 6y, y = 24y2 = 6x, x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ) 2. Ищем точки экстремумов на границах области: а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у3 +1; 24у2 , z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0). б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х3 – 6х+9; 3х2 - 6 = 0, х2 = 2 х = ± »±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит. х = 1,4 , – точка К (1,4;1) в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1, z = 8 + 8у3 - 12у+1 = 8у3 - 12у+9; 2у2 = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7) г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х3 + 6х-7; 3х2 + 6 ≠ 0, при любых значениях х. 2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q. ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7; ZB = Z(0,1) = 8+1=9; ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5; ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13; ZK = Z( ,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4; ZO = Z(0,0) = 1; ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3; ZN = Z(1, ) = 0; ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7; Zmin = -7, Zmax = 14,7. Задача 110 Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы): Х 1 2 3 4 5 У 4,8 5,8 4,3 2,3 2,8 Решение: Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”: Подсчитаем суммы: 1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55 4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5 Подставляем значения сумм в систему уравнений: 52,5 -55a -15b = 0 20 – 15a – 5 b = 0 (*3) a = -0.75 20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25 Искомая формула: y = -0,75x + 6,25. Задача 120 Вычислить неопределенные интегралы: 1) 2) 3) 4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t, dx = 5) Подстановка: Задача 130 Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями: у = х2­­ ­­­­­­­, y = 2- x2 Решение: S = S S кв.ед. Задача 140 Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной заданными линиями: (у-3)2 +3х = 0, х = -3 вокруг оси Ох Решение: V = V = = 6p∙27 =162p куб.ед. Литература: 1. Л.Г. Лелевкина, В.В. Попов «Основы высшей математики». Бишкек, КРСУ, 2005 г. 2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 М. 1986 г.