Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин ГОУ ВПО ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ кафедра «Управление эксплуатационной работой» Расчетно-графическая работа «Обработка статистических данных и установление закона распределения случайных величин» Выполнил: Роднов Е.А. студент 232 группы Проверил: Виноградова Л.Л. Хабаровск, 2007 В табл. 1 приведены моменты фактического прибытия поездов на станцию, полученные в результате натурных наблюдений. Необходимо: 1. Составить статистический ряд интервалов прибытия грузовых поездов на сортировочную станцию. 2. Установить основные временные параметры входящего на станцию поездопотока (среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации). 3. Построить гистограмму распределения вероятностей появления интервалов между поездами. 4. Определить параметр в эрланговском распределении интервалов прибытия поездов в парк приема. 5. По внешнему виду гистограммы подобрать теоретический закон распределения. 6. Проверить по критерию согласия Пирсона и условию Романовского правдоподобность гипотезы о выбранном теоретическом распределении интервалов прибытия поездов в расформирование. 7. Рассчитать число бригад ПТО в парке приема (время на техническое обслуживание t то принять равным 20 мин). Таблица 1 Моменты фактического прибытия поездов на станцию № п/п Время прибытия (ч, мин) № п/п Время прибытия (ч, мин) № п/п Время прибытия (ч, мин) № п/п Время прибытия (ч, мин) № п/п Время прибытия (ч, мин) 1 0-04 19 6-01 37 12-43 55 20-45 73 4-02 2 0-10 20 6-26 38 13-00 56 22-45 74 4-20 3 0-25 21 7-12 39 14-10 57 22-49 75 4-30 4 0-45 22 7-22 40 14-22 58 22-54 76 4-55 5 1-15 23 7-40 41 14-24 59 22-59 77 5-08 6 1-30 24 8-01 42 14-50 60 23-15 78 5-15 7 2-01 25 8-15 43 14-55 61 23-25 79 5-22 8 2-26 26 9-35 44 16-25 62 23-47 80 6-15 9 2-40 27 9-45 45 16-35 63 23-51 81 7-05 10 2-45 28 9-53 46 16-38 64 0-04 82 7-25 11 2-50 29 10-05 47 16-50 65 0-35 83 7-35 12 3-48 30 10-15 48 17-40 66 0-48 84 7-44 13 3-52 31 10-26 49 18-05 67 1-01 85 8-10 14 3-58 32 10-34 50 18-10 68 1-48 86 8-21 15 4-15 33 11-05 51 18-36 69 2-38 87 8-27 16 4-40 34 11-37 52 18-50 70 3-01 88 8-38 17 5-09 35 12-04 53 19-58 71 3-12 89 10-00 18 5-43 36 12-20 54 20-11 72 3-50 Решение Интервалы прибытия определил путем вычитания предыдущего времени прибытия поезда из последующего и представил в табл. 2. Таблица 2 Интервалы прибытия поездов № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин № п/п Интервал, мин 1 6 11 58 21 10 31 8 41 26 51 14 61 22 71 38 81 20 2 15 12 4 22 18 32 31 42 5 52 68 62 4 72 12 82 10 3 20 13 6 23 21 33 32 43 90 53 13 63 13 73 18 83 9 4 30 14 17 24 14 34 27 44 10 54 34 64 31 74 10 84 26 5 15 15 25 25 80 35 16 45 3 55 120 65 13 75 25 85 11 6 31 16 29 26 10 36 23 46 12 56 4 66 13 76 13 86 6 7 25 17 34 27 8 37 17 47 50 57 5 67 47 77 7 87 11 8 14 18 18 28 12 38 70 48 25 58 5 68 50 78 7 88 82 9 5 19 25 29 10 39 12 49 5 59 16 69 23 79 53 10 5 20 46 30 11 40 2 50 26 60 10 70 11 80 50 Группировка происходит по классам (разрядам). Количество классов К определил по формуле: К = (1 + 3,21 ∙ lgn ), (1) где n – общее число наблюдений. К = (1 + 3,21 ∙ lg88) = 7, 24. Принимаем количество классов К равным 8. Величину интервала (шаг класса) группирования Iопределил по формуле: , (2) где хmax , хmin – наибольшее и наименьшее значения случайной величины. . Далее произвел группирование интервалов по разрядам. В процессе группирования установил, сколько интервалов mi попало в разряд ti – ti+1 . Последующие расчеты основных параметров статистического ряда выполнил в форме табл. 3, в которую свел все промежуточные результаты вычислений. Таблица 3 Обработка статистического ряда интервалов между моментами прибытия поездов на станцию № п/п Границы разрядов, ti - ti+1 Число интервалов в разряде, mi ЧастостьPi Среднее значение в разряде, ti ti ∙ P ti 2 ∙ P 1 2-16,75 46 0,523 9,375 4,901 45,943 2 16,75-31,5 25 0,284 24,125 6,854 165,345 3 31,5-46,25 5 0,057 38,875 2,209 85,867 4 46,25-61 6 0,068 53,625 3,656 196,066 5 61-75,75 2 0,023 68,375 1,554 106,253 6 75,75-90,5 3 0,034 83,125 2,834 235,560 7 90,5-105,25 0 0 97,875 0 0 8 105,25-120 1 0,011 112,625 1,280 144,141 Итого 88 1 23,287 979,176 Для каждого разряда наблюдаемых величин подсчитал их количество и определил частость. Математическое ожидание М (х) определил по формуле: , (3) где – среднее значение разряда i . М (х) = 9,375 ∙ 0,523 + 24,125 ∙ 0,284 + 38,875 ∙ 0,057 + 53,625 ∙ 0,068 + 68,375 ∙ 0,023 + 83,125 ∙ 0,034 + 97,875 ∙ 0 + 112,625 ∙ 0,011 = 23,287. Дисперсию D ( x ) определил по формуле: D ( x ) = M 2 ( x ) – ( M [ x ])2 , (4) где – второй начальный момент случайной величины. M 2 ( x ) = 9,3752 ∙ 0,523 + 24,1252 ∙ 0,284 + 38,8752 ∙ 0,057 + 53,6252 ∙ 0,068 + 68,3752 ∙ 0,023 + 83,1252 ∙ 0,034 + 97,8752 ∙ 0 + 112,6252 ∙ 0,011 = 979,176. D ( x ) = 979,176 – 23,2872 = 436,892. Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из дисперсии: . (5) = 20,902. Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонение к математическому ожиданию: . (6) . На основании расчетных характеристик (табл. 3) строится гистограмма распределения интервалов прибытия поездов (рис. 1). Ординату гистограммы определил по формуле: , (7) где ∆ ti = ti +1 – ti шаг конкретного i -го разряда. Рис. 1. Гистограмма распределения интервалов прибытия поездов Параметр Эрланга определил по следующей формуле: , (8) . Исходя из найденного значения параметра Эрланга и внешнего вида гистограммы, сделал предположение, что для данного распределения наиболее близок закон показательного теоретического распределения. Теоретическая вероятность Р*i интервалов определенной величины в их общей совокупности равна: Р*i = F(ti ) – F(ti – 1 ), (9) где F(ti ) и F(ti – 1 ) – функция показательного распределения. F(ti ) = 1 – е– λ ti , F(ti– 1 ) = 1 – е– λ ti– 1 , где λ – интенсивность поступления поездов на станцию . (10) . Рассчитанные данные занесены в табл. 4. Таблица 4 Характеристики распределения интервалов между поступающими в переработку поездами Границы разрядов, ti - ti+1 Число интервалов в разряде, mi λt е– λt F(ti ) Р*i nР*i mi –nP*i (mi –nP*i )2 (mi –nP*i )2 /nР*i 2-16,75 46 0,086 0,918 0,082 0,429 37,731 8,269 68,376 1,8122 16,75-31,5 25 0,719 0,489 0,511 0,229 20,113 4,887 23,885 1,1875 31,5-46,25 5 1,353 0,261 0,739 0,122 10,721 -5,721 32,733 3,0531 46,25-61 6 1,986 0,139 0,861 0,065 5,715 0,285 0,081 0,0142 61-75,75 2 2,619 0,074 0,926 0,035 3,046 -1,046 1,095 0,3595 75,75-90,5 3 3,253 0,040 0,960 0,018 1,624 1,376 1,894 1,1660 90,5-105,25 0 3,886 0,021 0,979 0,010 0,866 -0,866 0,749 0,8657 105,25-120 1 4,520 0,011 0,989 0,005 0,461 0,539 0,290 0,6286 5,153 0,006 0,994 88 9,0867 Как видно из последней графы табл. 4 критерий согласия Пирсона χ2 = 9,0867. Число степеней свободы rопределил по формуле: r = R– S, (11) где R– число разрядов; S – число наложенных связей. r = 8 – 2 = 6. Пользуясь специальной таблицей, определяется вероятность Р(χ2 ) = 0,1736. Значит, гипотеза о показательном распределении интервалов поступления поездов на станцию не совсем правдоподобна. По условию Романовского, гипотеза о принятом теоретическом законе распределения считается правдоподобной, если соблюдается следующее неравенство: . (12) , следовательно, расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями не столь существенно и гипотеза о показательном законе распределения интервала прибытия поездов на станцию правдоподобна. Число бригад ПТО в парке приема рассчитал, исходя из условия: , (13) где Ip – расчетный интервал прибытия поездов; t ТО – время на техническое обслуживание поезда одной бригадой; Б – число бригад. , (14) где Imin – минимальный интервал между поездами, прибывающими на станцию, Imin = 2 мин. Icp = M(t) = 23, 287. = 12,64 мин. Время на техническое обслуживание t ТО принимается равным 20 мин. Число бригад рассчитал из формулы (13)