Геометрические свойства кривых второго порядка Цель курсовой работы Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат. Постановка задачи Дано уравнение кривой второго порядка: . (1) Задание . Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром : I . Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов. II . Привести уравнение кривой при к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. III . Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка. IV . Получить уравнения канонических осей в общей системе координат. V . Построить график кривой в канонической и общей системах координат. Получение канонической системы координат. Построение графиков I . Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра В прямоугольной декартовой системе координат кривая второго порядка задается в общем виде уравнением: , если хотя бы один из коэффициентов , , отличен от нуля. Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем: Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам: ; ; . Для данной кривой они равны: 1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа . При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу . 2). Если , то данная кривая — центральная. Следовательно, при данная кривая — центральная . · Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа . Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если , то уравнение (1) определяет эллипс . · Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа . а) Если и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим: Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые . б) Если и , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу . Используя полученные результаты, построим таблицу: Значение параметра β Тип кривой Эллипс Парабола Гипербола Две пересекающиеся прямые Гипербола II . Переход от общего уравнения кривой к каноническому Рассмотрим теперь случай, когда , и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид: (2.1) Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим: (2.2) Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим: (2.3) В уравнении (2.3) коэффициенты при приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно (2.4) Решив систему (2.4), получим: Центр кривой имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид , . (2.5) Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями (2.6) Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим Раскроем скобки и приведем подобные члены Приводя подобные члены, получим уравнение (2.7) Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла : . (2.8) Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение . (2.9) Решая уравнение (2.9), получим , . Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем: Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть , (2.10) Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем: и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида: И, соответственно, уравнение (2.11) — это каноническое уравнение исходной гиперболы. III . Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой Пусть и — фокусы, — эксцентриситет, — центр, а — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , . Эксцентриситет гиперболы (2.11) . Директрисы гиперболы задаются уравнениями: и . Подставляя найденные значения и , получаем: Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид: IV . Уравнения осей гиперболы в общей системе координат Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат . Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси и проходят через точку . В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси . Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка . Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или . V . Построение графиков гиперболы Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2). Рисунок 1. Рисунок 2. Вывод Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому. Список используемой литературы 1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003. 2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002. 3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.