Статистические методы обработки экспериментальных данных Министерство образования Российской Федерации Московский государственный университет печати Факультет полиграфической технологии Дисциплина: Математика по теме: «Статистические методы обработки Экспериментальных данных» Выполнил: студент Курс 2 Группа ЗТПМ форма обучения заочная Номер зачетной книжки Мз 023 н Вариант № 13 Допущено к защите Дата защиты Результат защиты Подпись преподавателя Москва – 2010 год 0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21 4 6 9 11 14 18 13 21;24 24;27 27;30 30;33 11 7 4 3 1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот. i – порядковый номер; Ii – интервал разбиения; xi – середина интервала Ii ; ni – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii ); wi = - относительная частота (n = - объём выборки); Hi = - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала Ii ). i Ii xi ni wi Hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21 21;24 24;27 27;30 30;33 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3 0,04 0,06 0,09 0,11 0,14 0,18 0,13 0,11 0,07 0,04 0,03 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,04 0,04 0,02 0,01 0,01 Объём выборки: n = =100, wi = ni /100; контроль: =1 Длина интервала разбиения (шаг): h = 3 , Hi = å : 100 1,00 Статистическим распределением называется соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение – это наборы троек (Ii ; ni ; wi ) для всех номеров i, а точечное – наборы троек (xi ; ni ; wi ). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное - статистическое распределения. Далее, строим полигон и гистограмму относительных частот. Полигон. Гистограмма. Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания xi ) соединяют точки (xi ; wi ). Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале Ii , как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте wi ; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна Hi = wi /h– плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения. 2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии. В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются: - для математического ожидания = (выборочная средняя ), - для дисперсии s2 = (исправленная выборочная ), где n – объём выборки, ni – частота значения xi . Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства MX» , DX»s2 . Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы. i xi ni xi ni (xi - )2 ni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1,5 4.5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3 6 27 67,5 115,5 189 297 253,5 247,5 178,5 114 94,5 829,44 779,76 635,04 320,76 80,64 6,48 168,48 479,16 645,12 635,04 744,12 = = хi ni /100 = 1590/100= 15,9 s2 = = = 5324,04/99=53,78 å : 100 1590 5324,04 3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины. При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей. Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и , - ¥< а <+¥, Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных: Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение) 4.Построение графика теоретической плотности распределения. Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е. MX = а, DX = σ2 Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX» , DX»s2 , что позволяет найти значения параметров распределения. По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения: _ x = а, 15,9 = а, а=15,9 s2 = σ2 53,78 = σ2 σ=7,33 Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-( x-15,9)2 / 2*(7,33)2)] =0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2)) Теперь необходимо вычислить значения f(xi )плотности f (x) при x=xi (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой: значения фунцкии при u=ui находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике. =15,9; s = 7,33 x i ui = xi - x / s φ (u i ) 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 -1,96 -1,56 -1.15 -0,74 -0.33 0.08 0.49 0,90 1.31 1,72 2.13 0,0584 0,1182 0,2059 0,3034 0,3778 0,3977 0,3538 0,2661 0,1691 0,0909 0,0413 0,008 0,016 0,028 0,041 0,052 0,054 0,048 0,036 0,023 0,012 0,006 Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi ; f(xi )) и соединяем их плавной кривой. 5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона. Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко: 1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным. 2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений. Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо. Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2 («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.) Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма. Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах. Группировка исходных данных. Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через nI количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ånI = n. Отметим, что критерий c2 будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если: 1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100; 2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. ni ³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты. Пусть концами построенного разбиения являются точки zi , где z1 <z2 < … <zi – 1 , т.е. само разбиение имеет вид (- ¥ºz0 ; z1 ) , [z1 ; z2 ) , [z2 ; z3 ) , … , [zi – 1 ; zi º+¥). После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона: zi –1 ; zi - ¥; 6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21 n i 10 9 11 14 18 13 21;24 24;27 27;30 30;+∞ 11 7 4 3 Вычисление теоретических частот. Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты nI определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства = n×pi , где n – количество испытаний, а pi ºR(zi –1 <x<zi ) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £i£ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины. Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице: _ n = 1 0 0; а=x = 15,9 ; σ = s=7,33 i Концы промежутков Аргументы фунцкции Ф0 Значения функции Ф0 Pi = Ф0 (u i )- Ф0 (u i-1 ) ν 1 ’ =npi zi -1 zi U i- 1 = (z i-1 -x)/s U i = (z i -x)/s Ф0 (u i-1 ) Ф0 (u i ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -∞ 6 9 12 15 18 21 24 27 30 6 9 12 15 18 21 24 27 30 +∞ -∞ -1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92 -1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92 +∞ -0,5000 -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 0,5000 0,0885 0,0851 0,1245 0,1541 0,1619 0,1439 0,1085 0,0680 0,0381 0,0274 8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,80 3,81 2,74 å: 1,0000 1 0 0 ,00 Статистика c2 и вычисление ее значения по опытным данным. Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения. В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина , называемая статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда c2 ³0, причем c2 = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c2 ¹0; при этом значение c2 тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты. Прежде чем рассказать о применении статистики c2 к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c2 набл. . i n i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 11 14 18 13 11 7 4 3 8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,8 3,81 2,74 0,15 0,03 0,17 0,13 0,20 0,13 0,00 0,01 0,01 0,02 : 100 100 0,85 c 2 набл. = 0,85 5.4. Распределение статистики c2 . Случайная величина имеет c2 – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид где cr – которая положительная постоянная ( cr определяется из равенства ). Случайная величина, имеющая распределение c2 с r степенями свободы, будет обозначаться . Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины в любой промежуток. Вернемся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi и теоретические частоты = n×pi ) Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через . Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками. Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а и s для нормального распределения. Следовательно R=i-Nпар -1=10-2-1=7 5.5. Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины. Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда c2 ³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i). Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений . Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством . Область принятия Критическая область гипотезы 0 Как же найти критическое значение ? Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через : называется уровнем значимости. Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения с неизвестной x. Поскольку распределение статистики близко при к - распределению с r степенями свободы, то и приближенное значение можно найти из уравнения Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x>0, при котором площадь под графиком функции (плотности - распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ). Зададим уровень значимости как = 0,05 (условие курсовой работы) . Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона: 1) Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n³ 100). 2) Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической частотой ) оказалось не менее пяти (т.е. ³ 5 при каждом i). 3) Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками). 4) С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности pi и теоретические частоты = n×pi попадания значений случайной величины в i-й промежуток. 5) По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через c2 набл. . 6) Определяют число r степеней свободы. 7) Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение . 8) Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез : если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е. , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента. 5.6. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте. Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице: Название величины Обозначение и числовое значение величины Уровень значимости (задан в условии) = 0,05 Количество промежутков разбиения l =10 Число степеней свободы r=7 Критическое значение (находится по таблице) = Наблюдаемое значение критерия c2 набл. = 0,85 ВЫВОД Гипотеза не принимается для данного 9 варианта, поскольку : 83,5 << 15,51 Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что , т.е. вероятность события { } очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна. 2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность : т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события { } и противоположны, то