Методика обработки экспериментальных данных 2 Задание на курсовую работу 1. Построить вариационный ряд 2. Рассчитать числовые характеристики статистического ряда: а) Размах варьирования. б) Среднее арифметическое значение. в) Оценки дисперсии. г) Оценки среднеквадратического отклонения. д) Мода. е) Медиана. ж) Коэффициент вариации. 3. Построить полигон и гистограмму относительных частот. 4. Построить эмпирическую функцию распределения. 5. Построить статистическую проверку гипотезы по нормальному распределению с помощью критерии Пирсона или Колмогорова. 6. Вычислить асимметрию и эксцесс. 7. Построить доверительные интервалы, для математического ожидания и среднеквадратического отклонения для надежности 95%. 8. Выводы. Данные по выборке вариант 34 -678 -752 -624 -727 -612 -632 -704 -697 -627 -727 -561 -748 -686 -676 -676 -696 -717 -694 -700 -707 -680 -681 -687 -656 -692 -644 -805 -758 -695 -722 -706 -704 -681 -608 -647 -699 -658 -686 -689 -643 -701 -716 -731 -623 -693 -703 -731 -700 -765 -697 -662 -705 -667 -677 -701 -678 -667 -673 -697 -701 -597 -716 -689 -694 -695 -729 -700 -717 -647 -673 -690 -578 -703 -688 -666 -670 -671 -693 -688 -646 -667 -689 -711 -731 -604 -691 -675 -686 -670 -703 -696 -702 -660 -662 -681 -666 -677 -645 -746 -685 1. Построение вариационного ранжированного ряда Сортируем экспериментальные данные по возрастанию. Получаем вариационный ряд. Таблица 1 -805 -727 -705 -700 -695 -689 -681 -673 -662 -632 -765 -727 -704 -700 -694 -688 -680 -671 -660 -627 -758 -722 -704 -700 -694 -688 -678 -670 -658 -624 -752 -717 -703 -699 -693 -687 -678 -670 -656 -623 -748 -717 -703 -697 -693 -686 -677 -667 -647 -612 -746 -716 -703 -697 -692 -686 -677 -667 -647 -608 -731 -716 -702 -697 -691 -686 -676 -667 -646 -604 -731 -711 -701 -696 -690 -685 -676 -666 -645 -597 -731 -707 -701 -696 -689 -681 -675 -666 -644 -578 -729 -706 -701 -695 -689 -681 -673 -662 -643 -561 Вывод: Вариационный ряд послужит нам для облегчения дальнейших расчетов, и для определения относительных частот и разделения на интервалы и расчета ряда числовых характеристик. 2. Расчет числовых характеристик статистического ряда 2.1 Размах варьирования Размах варьирования вычисляется по формуле: (2.1) где R – размах варьирования; x max – максимальный элемент вариационного ряда; xmin – минимальный элемент вариационного ряда; x max = – 561 xmin = -805 R = -561+805=244 2.2 Среднеарифметическое значение статистического ряда (2.2) где ni – частота варианты xi ; xi – варианта выборки; n = ∑ ni – объем выборки; Распределение выборки представлено в таблице 2. Таблица 2 Xi n Xi n Xi n Xi n Xi n Xi n Xi n -805 1 -717 2 -700 3 -689 3 -675 1 -647 2 -608 1 -765 1 -716 2 -699 1 -688 2 -673 2 -646 1 -604 1 -758 1 -711 1 -697 3 -687 1 -671 1 -645 1 -597 1 -752 1 -707 1 -696 2 -686 3 -670 2 -644 1 -578 1 -748 1 -706 1 -695 2 -685 1 -667 3 -643 1 -561 1 -746 1 -705 1 -694 2 -681 3 -666 2 -632 1 -731 3 -704 2 -693 2 -680 1 -662 2 -627 1 -729 1 -703 3 -692 1 -678 2 -660 1 -624 1 -727 2 -702 1 -691 1 -677 2 -658 1 -623 1 -722 1 -701 3 -690 1 -676 2 -656 1 -612 1 2.3 Оценка дисперсии (2.3) где s2 – несмещенная оценка генеральной дисперсии; 2.4 Оценка среднего квадратического отклонения (2.4) 2.5 Определение моды Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений. Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n =3имеют варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667. 2.6 Определение медианы Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле: МВ =( xk + xk +1 )/2 (2.5.) где xk – пятидесятый член вариационного ряда; x k+1 – пятьдесят первый член вариационного ряда; n – Количество вариант и n =2* k МВ =( xk + xk +1 )/2=(-689–689)/2= -689 2.7 Расчет коэффициента вариации Расчет коэффициента вариации проведем по формуле: (2.6) Вывод: Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда. Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики – генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением. Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность. В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов. 3. Построение полигона и гистограммы относительных частот Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3. Таблица 3 Номер интервала I Частичный интервал xi –xx +1 Сумма относительных частот wi Плотность частот xi xx +1 1 -805 -780,6 0,01 0,00041 2 -780,6 -756,2 0,02 0,00082 3 -756,2 -731,8 0,03 0,00123 4 -731,8 -707,4 0,12 0,00492 5 -707,4 -683 0,4 0,01639 6 -683 -658,6 0,24 0,00984 7 -658,6 -634,2 0,08 0,00328 8 -634,2 -609,8 0,05 0,00205 9 -609,8 -585,4 0,03 0,00123 10 -585,4 -561 0,02 0,00082 По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1). Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. Рис 1. Вывод: Полигон и гистограмму – графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке. 4. Построение эмпирической функции распределения Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле: (4.1) где nx – число вариант меньших х ; n – объем выборки. По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения. Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов: F(x) Интервал 0 X< -792,8 0,01 -792,8 <x< -768,4 0,02 -768,4 <x< -744 0,03 -744 <x< -719,6 0,05 -719,6 <x< -695,2 0,08 -695,2 <x< -670,8 0,12 -670,8 <x< -646,4 0,19 -646,4 <x< -622 0,27 -622 <x< -597,6 0,41 -597,6 <x< -573,2 0,67 -573,2 <x< -548,8 1 x> -548,8 Вывод: Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности 5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова Проверку проводим с помощью критерия Пирсона. В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты. – Среднее арифметическое значение – Количество вариантов – Шаг интервалов – Оценка среднеквадратического отклонения. Вычислим данные по таблице: I ni Xi X (i+1) Zi Z (I+1) 1 1 -805 -780,6 -2,7340 -0,5 -0,469 3,1 1,4226 0,3226 2 1 -780,6 -756,2 -2,7340 -2,1140 -0,469 -0,408 6,1 4,2639 0,1639 3 4 -756,2 -731,8 -2,1140 -1,4941 -0,408 -0,285 12,3 5,6008 1,3008 4 7 -731,8 -707,4 -1,4941 -0,8741 -0,285 -0,099 18,6 7,2344 2,6344 5 26 -707,4 -683 -0,8741 -0,2542 -0,099 0,1141 21,31 1,0322 31,7222 6 33 -683 -658,6 -0,2542 0,3658 0,1141 0,2939 17,98 12,5473 60,5673 7 14 -658,6 -634,2 0,3658 0,9857 0,2939 0,4131 11,92 0,3630 16,4430 8 8 -634,2 -609,8 0,9857 1,6057 0,4131 0,4713 5,82 0,8166 10,9966 9 3 -609,8 -585,4 1,6057 2,2256 0,4713 0,4927 2,14 0,3456 4,2056 10 3 -585,4 -561 2,2256 0,4927 0,5 0,73 7,0588 12,3288 СУММА 100 100 40,6851 140,6851 X2 набл =40,685 Контроль: 140,685–100=40,685 Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством . Уровень значимости = 0,05; По таблице критических точек распределения χ² (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χ²кр (0,05; 7) = 14,1. Вывод: Так как X2 набл > X2 кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают. 6. Расчет асимметрии и эксцесса Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения. , где Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины. , где Значение ХВ, s вычисляем по формулам: , где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту). , где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами); (условный момент второго порядка); (условный момент первого порядка); (условная варианта). Расчеты занесем в таблицу 7: Xi Ni Ui XB M1 M2 s m3 m4 AS EK -805 1 -2,73 -684,67 0,30 1,06 23,97 3433,28 4193007,72 0,25 12,71 -780,6 1 -2,11 -756,2 4 -1,49 -731,8 7 -0,87 -707,4 26 -0,25 -683 33 0,37 -658,6 14 0,99 -634,2 8 1,61 -609,8 3 2,23 -585,4 3 2,85 Вывод: Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода. Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая. 7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью g) находят как: (7.1) где n – объем выборки; t g – случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1. s – исправленное среднее квадратическое отклонение; – выборочное среднее; Найдем интервал: по приложению 1 находим t g = 1.984 при g = 0.95 и n = 100 ; =-684,67; s = 38,19 ; Получаем -692,25<a<-677.09 Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения (с надежностью g) находят как: при q <1 (7.2) при q >1 (7.3) где q находят по приложению 2, по заданным n и g ; Исходя из приложения 2, n = 100 и g = 0.95 находим q =0.143; Поэтому интервал находим по формуле (7.2): 38.19(1-0.143)< <38.19(1+0.143) 35,58(1+0.143) 32.73 < < 43.65 Вывод: Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25<a<-677.09, а неизвестное среднее квадратическое отклонение ‘ ’ находиться в доверительном интервале 32.73 < < 43.65. Вывод Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов. Я нашла: размах варьирования R = 244; среднеарифметическое значение статистического ряда =-684,67; несмещенную оценку генеральной дисперсии s 2 = 1458,99; среднее квадратическое отклонение s = 38,19; медиану МВ = -689 и коэффициент вариации V= 5,58%. С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале -692,25<а < -677,09 и среднее квадратическое отклонение в интервале 32,73 < < 43,65 Выборка имеет варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза. На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при a=0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо. Асимметрия as =0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды. Эксцесс ek =12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением. Список литературы 1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001. 2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.