Вычисление наибольшей прибыли предприятия Содержание Задача 1. 2 Задача 2. 4 Задача 3. 6 Задача 1 Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3 -7х и D(x)=2х2 +9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль? Решение Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы: , , . Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции . - не удовлетворяет условию задачи, . График функции прибыли представлен на рисунке 1. Рисунок 1 - График функции прибыли Как видно из рисунка 1, функция прибыли в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет: млн. у.е. Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е. Задача 2 Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 – объемы некоторых ресурсов; цены р1 =1 и р2 =1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль? Решение Задача сводится к поиску максимума функции при существовании ограничения : при . , . Найдем максимум функции графически. Рисунок 2 – График функции Как видно, функция достигает максимального значения при х1 =90. , . Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1 =90 и х2 =60. Задача 3 Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1). Таблица 1 – Исходные данные х у 1 5 70 2 11 65 3 15 55 4 17 60 5 2 50 6 22 35 7 25 40 8 27 30 9 30 25 10 35 32 1) Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y. 2) Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации. 3) Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции. 4) С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X. 5) Составьте уравнение линейной регрессии X на Y. 6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии. 7) Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1 . 8) Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1 . 9) Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X. 10) Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата. Решение. 1) Корреляционное поле случайных величин X и Y 2) Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации Таблица 2 – Вспомогательные расчеты х у х2 y2 xy 1 5 70 25 4900 350 2 11 65 121 4225 715 3 15 55 225 3025 825 4 17 60 289 3600 1020 5 2 50 4 2500 100 6 22 35 484 1225 770 7 25 40 625 1600 1000 8 27 30 729 900 810 9 30 25 900 625 750 10 35 32 1225 1024 1120 сумма 189 462 4627 23624 7460 средн 18,9 46,2 462,7 2362,4 746 Математическое ожидание: , . Дисперсия: , . Среднеквадратическое отклонение: , . Размах вариации: , . 3) Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции Ковариация: . Коэффициент корреляции: . 4) Уравнение линейной регрессии Y на X , , . 5) Уравнение линейной регрессии X на Y , , . 6) Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии Точка пересечения (18,4;46,9). 7) Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1 Таблица 3 – Вспомогательные расчеты х у x' y' x-xcp y-ycp (x-xcp )2 (y-ycp )2 1 5 70 5,572 62,975 -13,028 16,775 169,7288 281,4006 2 11 65 8,3645 55,745 -10,2355 9,545 104,7655 91,10702 3 15 55 13,9495 50,925 -4,6505 4,725 21,62715 22,32562 4 17 60 11,157 48,515 -7,443 2,315 55,39825 5,359225 5 2 50 16,742 66,59 -1,858 20,39 3,452164 415,7521 6 22 35 25,1195 42,49 6,5195 -3,71 42,50388 13,7641 7 25 40 22,327 38,875 3,727 -7,325 13,89053 53,65563 8 27 30 27,912 36,465 9,312 -9,735 86,71334 94,77023 9 30 25 30,7045 32,85 12,1045 -13,35 146,5189 178,2225 10 35 32 26,795 26,825 8,195 -19,375 67,15803 375,3906 сумма 189 462 188,643 462,255 2,643 0,255 711,7565 1531,748 средн 18,9 46,2 18,8643 46,2255 0,2643 0,0255 71,17565 153,1748 Для линии регрессии Y на X: , , . Для линии регрессии X на Y: , , . 8) Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1 Для α =0,05 и k =n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t =2,31 Для линии регрессии Y на X: , коэффициент значим, , коэффициент значим. Для линии регрессии X на Y: , коэффициент значим, , коэффициент значим. 9) Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X Доверительный интервал для b0 : <a0 < , <a0 < , 54,97<a0 <83,03. Доверительный интервал для b1 : <a1 < , <a1 < , -1,23<a1 <-1,17. 10) Коэффициент детерминации R2 : . Коэффициент детерминации R2