Контрольная по Математике Контрольная работа по дисциплине «Математика» для студентов заочного отделения 1. Найти пределы функций: а) =; = = = = = = = = 0; б) = = = = = = =.6290; в) = = = = = 0; г) = = = = = ln = = ln e* = 1*56/3 = 18.667; д) ; = = = = ; ; е) = = = = = + = = - = - = = = 2. 2. Найти производные функций: а) = = = ; б) = = = ; в) = = = = = = = ; г) = = = = = = ; д) = ; е) ; ; ; ж) ; ; ; ; ; ; ;; з) . = = = = ; 3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции . 1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва. отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7. 2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является. 3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет. 4. Найдем асимптоты при в виде у = kх+b. Имеем: k = b = Таким образом при асимптотой служит прямая ОХ оси координат. Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7 =-1,19, . В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко. 5. Найдем точки пересечения с осями координат: Х 0 У 1,08 Точка (0:3,86) с осью ОУ. 6. Исследуем на возрастание и убывание: = . 0; Это говорит о том что функция возрастающая. Строим график: 4. Найти интегралы при m=3, n=4: а) = = : б) = = пусть t = arcsin4x, получим = = . в) = = ; = = . Решаем равенство и получим: ; аналогично второе слагаемое 3 - получим = подставим все в последнее равенство … = + +9 + -+С. г) .= = = = = = = ….избавившись от знаменателя получим B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C); Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28; …= = = = 2,527766. 5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4: а) = … пусть t = arctg(x/4), тогда и подставим и получим … = ; б) = = 0,6880057. 6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , при m=3, n=4. х = -1,5, у = -18,25. точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25) X -4.19 1.19 0 Y 0 0 -16 или Х 0 4 У -4 0 Точки пересечения двух функций: = и т.е.: и . Площадь получиться из выражения = = 49,679. График выглядит: 7. Найти частные производные функций при m=3, n=4: а) = , , , б) . ; ; 8. Найти дифференциал функции: при m=3, n=4. 9. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению при m=3, n=4. в точке А(-4,3) grad(z) = (-0,1429:0,1875); =grad(z)* ( )*cos =… cos 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4 в области, заданной неравенствами: . D=AC-B; A= B= C= D=AC-B=( )( ) - ; найдем ; Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82). A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0; = -114,74 < 0 – нет экстремума функции, = 45097,12 > 0 – min функции = 12,279; = 1767.38 > 0 - min функции = 65,94; = -160,296 < 0 – нет экстремума функции. 11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4: . = , так как подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим . 12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями , и плоскостью, проходящей через точки , и . А) см. рис. - получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С. 7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)= 23x-812+116z-45y=0 Получим пределы интегрирования: Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам). = = = = = =232,109 куб.ед., 13. Вычислить при m=3, n=4 , где , , а контур образован линиями , , . а) непосредственно; б) по формулам Грина. , P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0. = = = = = = = = = = = = = =32,4060912, где пределы интегрирования были получены: и у = 9, то откуда х = 2,52. 14. Даны поле и пирамида с вершинами , , , . Найти при m=3, n=4: O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7). а) поток поля через грань пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью ; = = = = = = = = =… после подстановки и преобразования однородных членов получим: … = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е. поток поля = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2. б) поток поля через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса; в) циркуляцию поля вдоль замкнутого контура ; с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды). rot(F) = , в нашем случае 15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла: =