Метод комплексных чисел в планиметрии Предисловие В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность». Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом. Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким. § 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность. 1.1. Коллинеарность векторов . (1.2) 1.2. Коллинеарность трёх точек . (1.3) Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой . (1.5) определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности. 1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов) . (1.7) Уравнение касательной (1.8) (1.9) З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны. § 2 Углы и площади 2.1. Угол между векторами. (2.1) (2.2) 2.2. Площадь треугольника (2.3) З а д а ч а 2. Основание D высотыCD треугольникаABC делит сторонуAB в отношении 3:1 . Угол ACD вдвое больше угла BCD . Вычислить углы треугольника ABC . § 3 Многоугольники 3.1. Подобные треугольники. (3.1) где – комплексное число, – коэффициент подобия. (3.2) где – комплексное число, – коэффициент подобия. Если , то треугольники и равны. Тогда соотношение (3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных треугольников. 3.2. Критерий правильного треугольника . Треугольник ориентирован положительно: (3.4) Треугольник ориентирован отрицательно: (3.5) 3.3 Правильные многоугольники. где k принимает значения . Все n значений имеют один и тот же модуль Корням уравнения соответствуют вершины . З а д а ч а 3. Точки симметричны точке Р ,лежащей в плоскости треугольника ABC , относительно, соответственно, прямых AB , BC , CA . Точки – середины отрезков Докажите, что треугольники и подобны и противоположно ориентированы (рис. 5). З а д а ч а 4. На сторонах и выпуклого четырёхугольника вне его построены правильные треугольники и а на сторонах и построены правильные треугольники и лежащие с четырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых и соответственно. Докажите, что –параллелограмм (рис. 6). З а д а ч а 5. Точка делит сторону правильного треугольника в отношении 3:2 считая от точки . Точка делит сторону в отношении 3:14, считая от точки . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что прямые и перпендикулярны. З а д а ч а 6. Через центр правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой. З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности, и – стороны вписанного в неё и описанного около неё правильных n-угольников. Докажите, что (рис. 9). § 4 Прямая и окружность 4.1. Уравнение прямой . (4.1) Пусть коэффициенты a иb не обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению: которое а) имеет единственное решение при б) имеет бесконечное множество решений при Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при б) прямую при в) пустое множество при 4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах . Окружность с центром S ( s ) и радиусом R имеет уравнение (4.2) где z – координата переменной точки окружности. (4.4) Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab - c – действительное число. Отсюда , а значит, с должно быть действительным числом. Итак, уравнение (4.5) есть уравнение окружности с центром и радиусом 4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам . Пусть окружность проходит через точки A , B , C . Тогда однородная линейная система относительно имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю: (4.6) Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам. 4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными , если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности. Даны две окружности ( A , R ) и ( B , r ), заданные соответственно уравнениями: где и где Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы или (4.7) или (4.8) З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка AB иCD . Найдите множество точек М , для каждой из которых площади треугольников MAB иMDC равны (рис. 10). З а д а ч а 9.На гипотенузе AB прямоугольного треугольникаABC дана произвольная точкаP . Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC и BPC , ортогональны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В, P соответствуют комплексные числа 1, b , p , а центрам окружностей РАС и РВС числа (рис. 11). По условию или . Переходя к комплексным числам, получаем: откуда . Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС : или После раскрытия определителя получаем: или откуда Из уравнения находим: Аналогично, для окружности Р A С имеем: и отсюда Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия: Таким образом, окружности РАС и РВС