Лекция по Экономическому моделированию Задача 1. 1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси». Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук. По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$. Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций. Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему? Решение Пусть X1 – кол-во акций «Дикси-Е», X2 – кол-во акций «Дикси-В». Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией: Вид дохода Наименования акций Запас средств Дикси-Е Дикси-В Стоимость 1 акции 5 3 25000 Прибыль от инвестиции акций в следующем году 1,1 0,9 Рекомендации Х1 Х2 Экономико-математическая модель задачи имеет вид: Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций: Для получения решения графическим методом строим прямые: X1 5000 200 X2 0 8000 А В С 1000 2000 3000 4000 5000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 О Решением является замкнутый многоугольник ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи. Чтобы из бесконечности множества возможных рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели max значение. Надо найти расположение всех точек в которых функция цели принимает одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную через точку (0,0). Х1 Х2 0 6667 5455 0 Построим векто-градиент перпендикулярный линии уровня , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений. Точка С (3500;2500) Если решать задачу на minто надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения. Ответ: максимальная прибыль в следующем году: 6100$ При покупке акций Дикси-Е (Х1 )=3500 (шт.), Дикси-В (Х2 )=2500 (шт.). Задача 2. 2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции. Вид сырья Наименование расхода сырья на ед. продукции Запасы сырья А Б В I II III 18 6 5 15 4 3 12 8 3 360 192 180 Цена изделия 9 10 16 Требуется: 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. 3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг; - оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья. Решение 1) Пусть необходимо изготовить х1 единиц продукции A, х2 единиц продукции Б и х3 единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид: Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MSExcel. Сначала занесем исходные данные: A B C D E F 3 X1 X2 X3 4 Значения переменных 0 0 0 ЦФ 5 Коэф. целевой ф-ии 9 10 16 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В5:D5) 6 7 Ограничения Левая часть Правая часть 8 I 18 15 12 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В8:D8) 360 9 II 6 4 8 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В9:D9) 192 10 III 5 3 3 =СУММПРОИЗВ($В$4:$D$4;В10:D10) 180 Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»: В результате будет получена следующая таблица: 2 A B C D E F 3 X1 X2 X3 4 Значения переменных 0 8 20 ЦФ 5 Коэф. целевой ф-ии 9 10 16 400 6 7 Ограничения Левая часть Правая часть 8 I 18 15 12 360 360 9 II 6 4 8 192 192 10 III 5 3 3 84 180 Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В. 2) Строим двойственную задачу в виде: Запишем двойственную задачу: Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи: Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у3 = 0 Так как х2 ≠ 0 и х 3 ≠ 0, то получаем систему уравнений: Решение системы: y1 =2/9, y2 =5/3, y3 =0. 3) В прямой задаче Х1 =0, так как придостаточно высоких затратах производство продукции Iприносит небольшую прибыль. В двойственной задаче у3 =0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции. 4) а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у2 = 5/3 ) является наибольшей. б) При увеличении запасов сырья Iвида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит: 2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед. И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед. Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений: То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид: X1 =0 X2 =11 X3 =20 maxf(x) = 395 (ден.ед) в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг. Затраты на изготовление единицы изделия Г составят: Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (∆ = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль. Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно. Задача 4. Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице Номер варианта Номер наблюдения ( t=1,2,...,9) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 12 15 16 19 17 20 24 25 28 Требуется: 1) Проверить наличие аномальных наблюдений. 2) Построить линейную модель Ŷ(t)=a0 +a1 t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда). 3) Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a0 +a1 k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α. 4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7). 5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. 6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%). 7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически. Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями). Решение 1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где λ должна быть ≥1,6 для нормального ряда. где среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул: Построим следующий ряд: y(t)2=B2^2 λ(y) =D3/$B$13 σy=((9*E11-B11^2)/72)^0,5 Анамальных наблюдений во временном ряду нет. 2)Построим линейную модель вида Yр (t) = a0 + a1 t Параметры а0 и а1 можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений: А также с использованием настройки MSExcel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу: Затем используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных» Средствами MSExcel получена следующая линейная модель: Yp ( t) = 1,85 t+ 10,30 Построим график эмпирического и смоделированного рядов: 3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и полученная ошибка прогноза: используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам: а) Примем а = 0,4, тогда В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0 = 11,6; а1 = 1,4. Расчет проведем с помощью MSExcel в результате получим следующую таблицу: t y(t) ao(t) a1(t) yp(t) e(t) 0 11,6 1,4 1 12 12,09 0,76 13 -1 2 15 14,226 2,7165 12,85 2,15 3 16 16,08483 1,858825 16,9425 -0,9425 4 19 18,90493 2,820104 17,94365 1,05635 5 17 17,42525 -1,47968 21,72503 -4,72503 6 20 19,6351 2,209849 15,94558 4,054423 7 24 23,80605 4,170944 21,84495 2,155049 8 25 25,26793 1,461883 27,97699 -2,97699 9 28 27,88568 2,617754 26,72981 1,270188 Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели: б) Примем а = 0,7, тогда . В качестве начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а0 = 11,6; а1 = 1,4. Получим следующую таблицу: t y(t) ao(t) a1(t) yp(t) e(t) 0 11,6 1,4 1 12 12,09 0,49 13 -1 2 15 14,7822 2,6922 12,58 2,42 3 16 16,1327 1,350496 17,4744 -1,4744 4 19 18,86349 2,73079128 17,48319 1,516808 5 17 17,41349 -1,45000221 21,59428 -4,59428 6 20 19,63671 2,223228387 15,96348 4,036517 7 24 23,80739 4,170681309 21,85994 2,140058 8 25 25,26803 1,460632081 27,97808 -2,97808 9 28 27,88558 2,617552457 26,72866 1,271341 Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели: Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4. 4) Оценим адекватность построенной модели также используя MSExcel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу: Et=B2-G2 Е(т)^2=H2^2 E((t)-E(t-1))^2=(H3-H2)^2 E(t)-E(t-1) =H3-H2 мод Е(т) =ABS(H2) Е(т)/у=L2/B2 Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается. · Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле: Так как для данной модели р = 6 > 2, то условие выполнено. · Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона ( d- статистику) по формулам: d=2,03383658 d'=4–2,03383658=1,96616342 Критические значения статистики: d1 kp =1,08 и d2 kp =1,36; dи d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы · Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий: Se =((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685 =(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04 (2,7;3,7), т.е. 3,04 (2,7;3,7), значит модель адекватна. 5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле: 6) Строим прогноз по построенным моделям: точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+ k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на k шагов вперед имеет вид: Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид: Yn +1 =10,30+1,85(9+1)=28,806 Yn +2 =10,30+1,85(9+2)= 30,656 Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7 Доверительный интервал: Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119 7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу: