Криволинейный интеграл первого и второго рода Криволинейный интеграл первого рода Криволинейный интеграл второго рода 1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла. Определение криволинейного интеграла по координатам. 2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1). 3. Вычисления а) б) Рис. 1 Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы при перемещении точки от к 1. Разобьем на n частей : Обозначим вектор- хорда дуге. Пусть предположим, что на тогда Работа вдоль дуги вычисляется как скалярное произведение векторов и Пусть Тогда: Работа Если , то этот предел примем за работу А силы при движении точки по кривой от точки до точки , -не числа, а точки концы линии . 1. Свойства: 10 определяется а) подынтегральным выражением б) формой кривой интегрирования. в) указанием направления интегрирования (рис. 2). Рис. 2 -можно рассматривать как интеграл от векторной функции Тогда - если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора по контуру . 30 40 не зависит от того какую точку взять за начало Вычисление криволинейного интеграла Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3). Рис. 3 -гладкая кривая. 1. Если -непрерывны, -непрерывные. -непрерывны по , то Пределы А и В не зависят ни от способа деления на , ни от вектора Следовательно: . 2. В случае: 1. Формула Грина. 2. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. 3. Полный дифференциал. Связь между определенным и криволинейным интегралами. Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией (рис. 4). интеграл криволинейный грин формула Рис. 4 непрерывны на - определена и непрерывна в замкнутой области D. - определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда Аналогично -Формула Грина. В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Пример. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Рис. 5 - непрерывные частные производные в (рис. 5). Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования? Теорема: -непрерывны в области , тогда для того, чтобы в (рис. 6) Рис. 6 Пусть Обратно Т.д. Пусть из непрерывности и -окрестность точки такая что в предположение неверно. ч.т.д. Замечание. Определение. Функция -градиент которой есть вектор силы называется потенциалом вектора . Тогда Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования. Литература 1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г. 2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г. 3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.