Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характерис Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками Езаова А.Г. Кафедра теории функций. Кабардино-Балкарский государственный университет В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода. Рассмотрим уравнение (1) где m – натуральное число в конечной односвязной области , ограниченной отрезками прямых соответственно – и характеристиками: уравнения (1). Пусть ; – интервал прямой ; – аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при , выходящих из точки , с характеристиками и соответственно; (2) (3) – операторы дробного интегрирования порядка - при и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка при , причем где – единичный оператор, а – целая часть . Под регулярным в области решением уравнения (1) будем понимать функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в , и такую, что может обращаться в бесконечность порядка ниже на концах А и В интервала I. Задача Н . Найти регулярное в области решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям: , (4) , (5) где , (5`) . (6) Пусть существует решение задачи . Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части , удовлетворяющее данным Коши , дается формулой [1]: (7) Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное на из [2]: , (8) где (9) Из постановки задачи Н следует, что функция непрерывна в области . Поэтому, переходя к пределу при в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим: , (10) . (11) Решая задачу (10), (11) относительно , окончательно получим функциональное соотношение между функциями и , принесенное из области на : (12) Подставляя в (9) вместо функции её выражение (12), получаем : где . Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде: (14) Следуя [2], преобразуем интегралы: , , , , . В интегралах сделаем подстановки 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) соответственно. В результате получим равенства: , Подставляя значения в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем: (15) Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь: (16) где обозначено (17) 2 Труды молодых ученых № 3, 2007 (18) (19) Введем вспомогательную функцию по формуле : (20) Легко заметить, что функция и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция : (21) Учитывая значение функции из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем: . Обозначим . (22) Тогда окончательно имеем: . Аналогично находим, что , где обозначено , (23) ; (24) . (25) Используя известное тождество [3], , где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]: (26) где сингулярный оператор S задаётся формулой: , , , , , , – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем , . Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]: , (27) где причем ядро и функция ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1. Следуя [2], обозначим через – множество функций , непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию где , – целая часть , – целая часть [1]. В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе . Функция , определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8). После определения , функция задаётся формулой (12). Таким образом, в области приходим к задаче [6]: найти регулярное в области решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной в замкнутой области и удовлетворяющее граничным условиям (4) и . Решение этой задачи задается формулой : где – функция Грина этой задачи для уравнения . (28) Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид: где ; ; – функция Бесселя. Функции , называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению . Основные свойства функций и , их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7]. Список литературы Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972. Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965. Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.